Questions

Répondez aux questions suivantes :

Question

Soit 2 stimulus Q 0 ⃗ vec {Q_0} et Q 1 ⃗ vec {Q_1} définis par leurs coordonnées trichromatiques ( x 0 , y 0 ) (x_0 , y_0) et ( x 1 , y 1 ) (x_1 , y_1) ainsi que par leur luminance Y 0 Y_0 et Y 1 Y_1 . Donner l'expression vectorielle du stimulus Q ⃗ vec Q résultant de la synthèse additive des 2 stimulus Q 0 ⃗ vec {Q_0} et Q 1 ⃗ vec {Q_1} .

Solution

Q ⃗ = Q 0 ⃗ + Q 1 ⃗ vec Q = vec {Q_0} + vec {Q_1}

Question

Pour un stimulus Q ⃗ vec Q de coordonnées trichromatiques ( x , y ) (x , y) et de luminance Y Y , la résultante colorimétrique Σ %SIGMA a pour expression Σ = X + Y + Z %SIGMA=X+Y+Z somme des composantes trichromatiques. Montrer que Σ %SIGMA a aussi pour expression Σ = Y / y %SIGMA=Y/y

Solution

Les coordonnées trichromatiques ( x , y , z ) (x,y,z) sont définies de la manière suivante :

{ x = X X + Y + Z = X Σ y = Y X + Y + Z = Y Σ z = Z X + Y + Z = Z Σ left lbrace stack{{ {x} = {X over {X + Y + Z}} = X over %SIGMA} # { {y} = {Y over {X + Y + Z}}= Y over %SIGMA } # { {z} = {Z over {X + Y + Z}}= Z over %SIGMA }} right none

soit

Σ = Y / y %SIGMA=Y/y

Question

Comme stimulus Q 0 ⃗ vec {Q_0} on prend l'illuminant de référence D65. D'après le tableau 1, calculer les coordonnées trichromatiques ( x 0 , y 0 ) (x_0 , y_0) de ce stimulus.

Tableau 1 : Composantes trichromatiques d'illuminants normalisés

Solution

D'après le tableau I, on a :

{ X 0 = 95 ,04 Y 0 = 100 Z 0 = 108 ,89 alignl left lbrace stack{{ {X_{0}} = {95,04} } # { {Y_{0}} = {100} } # { {Z_{0}} = {108,89} }} right none

soit

Σ 0 = 303 ,93 %SIGMA_0 = 303,93

d'où

{ x 0 = 0 ,3127 y 0 = 0 ,3290 z 0 = 0 ,3583 alignl left lbrace stack{{ {x_{0}} = {0,3127} } # { {y_{0}} = {0,3290} } # { {z_{0}} = {0,3583} }} right none

Question

De quelle source de lumière polychromatique le stimulus Q 0 ⃗ vec {Q_0} est-il proche ?

Solution

Les coordonnées trichromatiques ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) sont proches de celles du blanc équiénergétique pour lequel x 0 = y 0 = z 0 = 0 ,33 x_0 = y_0 = z_0 = 0,33 .

Question

Le stimulus Q 1 ⃗ vec {Q_1} est monochromatique de longueur d'onde 585nm. D'après l'extrait de la table CIE 1964 ci-dessous, donner les valeurs des coordonnées trichromatiques ( x 1 , y 1 ) (x_1 , y_1) .

Tableau 2 : Fonctions colorimétriques

Solution

Pour une couleur pure (monochromatique) les coordonnées trichromatiques ( x , y , z ) (x,y,z) sont données par :

{ x = x ¯ ( λ ) x ¯ ( λ ) + y ¯ ( λ ) + z ¯ ( λ ) y = y ¯ ( λ ) x ¯ ( λ ) + y ¯ ( λ ) + z ¯ ( λ ) z = z ¯ ( λ ) x ¯ ( λ ) + y ¯ ( λ ) + z ¯ ( λ ) left lbrace stack{{ {x} = {{overline x(%lambda)} over {overline x(%lambda) + overline y(%lambda) + overline z(%lambda)}} } # { {y} = {{overline y(%lambda)} over {overline x(%lambda) + overline y(%lambda) + overline z(%lambda)}} } # { {z} = {{overline z(%lambda)} over {overline x(%lambda) + overline y(%lambda) + overline z(%lambda)}} }} right none

d'où x 1 = 0 ,5654 x_1 = 0,5654 , y 1 = 0 ,4346 y_1 = 0,4346 , z 1 = 0 ,0000 z_1 =0,0000

Question

Montrer que le stimulus Q ⃗ = Q 0 ⃗ + Q 1 ⃗ vec Q = vec {Q_0} + vec {Q_1} se caractérise par :

{ x = Σ 0 x 0 + Σ 1 x 1 Σ 0 + Σ 1 y = Y 0 + Y 1 Σ 0 + Σ 1 Y = Y 0 + Y 1 alignl left lbrace stack{{ {x} = {{%SIGMA_{0} x_{0} + %SIGMA_{1} x_{1}} over {%SIGMA_{0} + %SIGMA_{1}}} } # { {y} = {{Y_{0} + Y_{1}} over {%SIGMA_{0} + %SIGMA_{1}}} } # { {Y} = {Y_{0} + Y_{1}} }} right none

Solution

Pour un mélange additif de deux couleurs Q 0 ⃗ vec {Q_0} et Q 1 ⃗ vec {Q_1} de composantes trichromatiques ( X 0 , Y 0 , Z 0 ) (X_0 , Y_0 , Z_0) et ( X 1 , Y 1 , Z 1 ) (X_1 , Y_1 , Z_1) , le stimulus résultant Q ⃗ vec Q a pour composantes :

{ X = X 0 + X 1 Y = Y 0 + Y 1 Z = Z 0 + Z 1 alignl left lbrace stack{{ {X} = {X_{0} + X_{1}} } # { {Y} = {Y_{0} + Y_{1}} } # { {Z} = {Z_{0} + Z_{1}} } } right none

comme les coordonnées trichromatiques sont telles que :

{ x 0 = X 0 Σ 0 y 0 = Y 0 Σ 0 z 0 = Z 0 Σ 0 alignl left lbrace stack{{ {x_{0}} = {X_{0} over %SIGMA_{0}} } # { {y_{0}} = {Y_{0} over %SIGMA_{0}} } # { {z_{0}} = {Z_{0} over %SIGMA_{0}} } } right none

pour le stimulus Q 0 ⃗ vec Q_{0}

{ x 1 = X 1 Σ 1 y 1 = Y 1 Σ 1 z 1 = Z 1 Σ 1 alignl left lbrace stack{{ {x_{1}} = {X_{1} over %SIGMA_{1}} } # { {y_{1}} = {Y_{1} over %SIGMA_{1}} } # { {z_{1}} = {Z_{1} over %SIGMA_{1}} } } right none

pour le stimulus Q 1 ⃗ vec Q_{1}

Alors pour le stimulus Q ⃗ vec Q

{ x = X Σ y = Y Σ z = Z Σ alignl left lbrace stack{{ {x} = {X over %SIGMA} } # { {y} = {Y over %SIGMA} } # { {z} = {Z over %SIGMA} } } right none

Avec

Σ = X + Y + Z = ( X 0 + Y 0 + Z 0 ) + ( X 1 + Y 1 + Z 1 ) = Σ 0 + Σ 1 %SIGMA=X+Y+Z=(X_0+Y_0+Z_0)+(X_1+Y_1+Z_1)=%SIGMA_0+%SIGMA_1

d'où

{ x = X 0 + X 1 Σ 0 + Σ 1 y = Y 0 + Y 1 Σ 0 + Σ 1 z = Z 0 + Z 1 Σ 0 + Σ 1 alignl left lbrace stack{{ {x} = {{X_0+X_1} over {%SIGMA_0+%SIGMA_1}} } # { {y} = {{Y_0+Y_1} over {%SIGMA_0+%SIGMA_1}} } # { {z} = {{Z_0+Z_1} over {%SIGMA_0+%SIGMA_1}} } } right none

donc

{ x = Σ 0 x 0 + Σ 1 x 1 Σ 0 + Σ 1 y = Y 0 + Y 1 Σ 0 + Σ 1 alignl left lbrace stack{{ {x} = {{%SIGMA_0 x_0+%SIGMA_1 x_1} over {%SIGMA_0+%SIGMA_1}} } # { {y} = {{Y_0+Y_1} over {%SIGMA_0+%SIGMA_1}} } } right none

Et par définition

Y = Y 0 + Y 1 Y=Y_0 + Y_1

Question

Calculer les valeurs numériques de x x , y y et Y Y pour Y 0 = 14 ,5 Y_0=14,5 et Y 1 = 30 Y_1=30 .

Solution

D' après le expressions établies à la question 6, on a

{ x = x 0 Y 0 / y 0 + x 1 Y 1 / y 1 Y 0 / y 0 + Y 1 / y 1 y = Y 0 + Y 1 Y 0 / y 0 + Y 1 / y 1 alignl left lbrace stack{{ {x} = {{x_0 Y_0/y_0+x_1 Y_1/y_1} over {Y_0 / y_0+Y_1 / y_1}} } # { {y} = {{Y_0+Y_1} over {Y_0 / y_0+Y_1 / y_1}} } } right none

On a par ailleurs

{ x 0 = 0 ,3127 y 0 = 0 ,3290 alignl left lbrace stack{{ {x_{0}} = `{0,3127} } # { {y_{0}} = ```{0,3290} } } right none

(Cf. question 3 ) et

{ x 1 = 0 ,5654 y 1 = 0 ,4346 alignl left lbrace stack{{ {x_{1}} = `{0,5654} } # { {y_{1}} = ```{0,4346} } } right none

( Cf . question 5 )

d'où finalement

{ x = 0 ,4669 y = 0 ,3935 alignl left lbrace stack{{ {x} = `{0,4669} } # { {y} = ```{0,3935} } } right none

Question

D'après le tableau 1, de quel illuminant le stimulus Q ⃗ vec Q est-il le plus proche ?

Solution

D'après le tableau 1, les coordonnées trichromatiques des illuminants A, C et D65 ont pour valeur :

Tableau 3 : Coordonnées trichromatiques d'illuminants normalisés

Dans le plan ( x , y ) (x,y) les distances QA ¯ overline QA , QC ¯ overline QC et QD 65 ¯ overline QD_65 ont pour expression :

{ QA ¯ = ( x A − x ) 2 + ( y A − y ) 2 QC ¯ = ( x C − x ) 2 + ( y C − y ) 2 QD 65 ¯ = ( x D 65 − x ) 2 + ( y D 65 − y ) 2 alignl left lbrace stack{{ {overline QA} = {sqrt{(x_A - x)^2 + (y_A - y)^2}} } # { {overline QC} = {sqrt{(x_C - x)^2 + (y_C - y)^2}} } # { {overline QD_{65}} = {sqrt{(x_{D_{65}} - x)^2 + (y_{D_{65}} - y)^2}} }} right none

d'où QA ¯ = 0 ,024 overline QA = 0,024 ; QC ¯ = 0 ,175 overline QC = 0,175 ; QC 65 ¯ = 0 ,167 overline QC_65 = 0,167

On voit donc que le stimulus Q ⃗ vec Q de coordonnées trichromatiques

{ x = 0 ,4669 y = 0 ,3935 alignl left lbrace stack{{ {x} = `{0,4669} } # { {y} = ```{0,3935} } } right none

est plus proche de l'illuminant A.

Question

Calculer la pureté p p de la couleur Q ⃗ vec Q .

Solution

Par définition,

p = QE ¯ Q DOMINANTE E ¯ p = overline {QE} over overline {{Q_DOMINANTE}E}

Avec le stimulus équiénergétique E ⃗ vec E de coordonnées

{ x E = 0 ,3333 y E = 0 ,3333 alignl left lbrace stack{{ {x_{E}} = `{0,3333} } # { {y_{E}} = ```{0,3333} } } right none

et

QE ¯ = ( x E − x ) 2 + ( y E − y ) 2 {overline QE} = {sqrt{(x_E - x)^2 + (y_E - y)^2}}

Dans le cas présent,

Q ⃗ DOMINANTE = Q 1 ⃗ {vec Q}_{DOMINANTE} =vec Q_1

d'où

Q 1 E ¯ = ( x E − x 1 ) 2 + ( y E − y 1 ) 2 {overline {Q_1E}} = {sqrt{(x_E - x_1)^2 + (y_E - y_1)^2}}

finalement Q 1 E ¯ = 0 ,2532 overline Q_1E =0,2532 et Q E ¯ = 0 ,1465 overline Q_E =0,1465 d'où p = 0 ,58 p=0,58

On peut ausi calculer la pureté p en considérant que Q ⃗ = Q 0 ⃗ + Q 1 ⃗ vec Q = vec Q_0 + vec Q_1 avec Q 0 ⃗ ≃ E ⃗ vec {Q_0} simeq vec E d'où

p = QQ 0 ¯ Q 1 Q 0 ¯ p = overline {QQ_0} over overline {{Q_1}Q_0}

avec Q 1 Q 0 ¯ = 0 ,2739 overline {{Q_1}Q_0} = 0,2739 et Q Q 0 ¯ = 0 ,1671 overline {Q Q_0} = 0,1671 .

Finalement p = 0 ,61 p=0,61 .