Jeux Mathématiques et Logiques
service maintenu par Gilles HAINRY, agrégé de mathématiques,
Université du Maine
I.U.T. Techniques de Commercialisation
53000 LAVAL
(France)
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Les Calendriers
© Gilles HAINRY, Université du Maine
Cet article a été rédigé dans une forme très peu différente pour la revue 1997 de la Société d'Archéologie et d'Histoire de la Mayenne (S.A.H.M.) ; ceci expliquera sans doute la prééminence d'exemples " mayennais ".
I. Calendrier perpétuel
Sans trop entrer dans les détails, il faut savoir que notre vie, et notre histoire reposent sur une technique de repérage chronologique, basée sur le cycle solaire : nous vivons au rythme des années, des mois, des semaines, des jours...
1. la semaine
La semaine comporte sept jours, cette donnée étant immuable ; ces jours se suivent dans un ordre préétabli, sans qu'il soit indispensable de se fixer une origine ; on obtient la suite infinie :
...Vendredi, Samedi, Dimanche, Lundi, Mardi, Mercredi, Jeudi, Vendredi, Samedi, Dimanche, Lundi, Mardi, Mercredi, Jeudi, Vendredi, Samedi, Dimanche, Lundi, Mardi...
On peut réaliser ce que les mathématiciens appellent une bijection de l'ensemble des sept jours de la semaine sur l'ensemble des sept premières lettres de l'alphabet de telle sorte que la suite infinie :
... A, B, C, D, E, F, G, A, B, C, D, E, F, G, A, B, C, D, E, F, G, A, B, C, D, E, F, G...
coïncide terme pour terme avec la précédente.
Il y a en tout et pour tout sept façons possibles de le faire :
Si Dimanche est A, Lundi sera B, Mardi sera C, Mercredi sera D, Jeudi sera E, Vendredi sera F et Samedi G.
Si Dimanche est B, Lundi sera C, Mardi sera D, Mercredi sera E, Jeudi sera F, Vendredi sera G et Samedi A.
Si Dimanche est C, Lundi sera D, Mardi sera E, Mercredi sera F, Jeudi sera G, Vendredi sera A et Samedi B.
Si Dimanche est D, Lundi sera E, Mardi sera F, Mercredi sera G, Jeudi sera A, Vendredi sera B et Samedi C.
Si Dimanche est E, Lundi sera F, Mardi sera G, Mercredi sera A, Jeudi sera B, Vendredi sera C et Samedi D.
Si Dimanche est F, Lundi sera G, Mardi sera A, Mercredi sera B, Jeudi sera C, Vendredi sera D et Samedi E.
Si Dimanche est G, Lundi sera A, Mardi sera B, Mercredi sera C, Jeudi sera D, Vendredi sera E et Samedi F.
On voit qu'il suffit de connaître la lettre associée à Dimanche pour maîtriser cette bijection ; cette lettre s'appelle la lettre dominicale.
2. le mois
Le mois comporte 28, 29, 30 ou 31 jours, c'est-à dire le plus souvent un nombre non entier de semaines ; les mois se suivent dans un ordre préétabli et immuable :
... Décembre (31 jours), Janvier (31 jours), Février (28 ou 29 jours), Mars (31 jours), Avril (30 jours), Mai (31 jours), Juin (30 jours), Juillet (31 jours), Août (31 jours), Septembre (30 jours), Octobre (31 jours), Novembre (30 jours), Décembre (31 jours), Janvier (31 jours), Février (28 ou 29 jours), Mars (31 jours)...
3. l'année
L'année compte douze mois ; elle commence désormais le premier jour de janvier pour se terminer le trente-et-unième jour de décembre ; il y a 365 jours dans une année ordinaire dont le mois de février a 28 jours ; les années dont le mois de février compte 29 jours sont dites bissextiles et ont 366 jours.
Les années portent des numéros entiers consécutifs croissants que l'on nomme millésimes.
Une année compte 52 semaines et 1 ou 2 jours complémentaires : en effet, 364 = 52 * 7 .
4. calendrier julien
Avant décembre 1582, une année sur quatre était bissextile : dans ce calendrier, institué par Jules César, les années bissextiles sont celles dont le millésime est divisible par quatre, et seulement celles-la. Par exemple, 800, 932, 1268, 1576 sont bissextiles, alors que 733, 1219 ou 1574 ne le sont pas.
5. calendrier grégorien
En 1582, afin de rattraper un retard de dix jours des saisons sur le cycle calendaire et d'éviter de cumuler d'autres jours de retard à l'avenir, le Pape Grégoire XIII décrète dix jours " blancs " et institue de nouvelles règles ; le nouveau calendrier est adopté en France en décembre où le lendemain du dimanche 9 décembre 1582 est le lundi 20 décembre 1582 (on notera qu'il n'y a pas de rupture dans le cycle immuable et infini des jours de la semaine.
Désormais (après 1582), seules seront bissextiles les années non séculaires (c'est-à dire dont le numéro n'est pas multiple de 100) dont le millésime est divisible par quatre, et les années dont le millésime est divisible par 400. Par exemple, 1600, 1728, 1996, 2000, 2024 sont bissextiles, mais 1700, 1789, 1800, 1830, 1900, 1997 ou 2100 ne le sont pas.
6. un peu d'arithmétique
Sachant que le mathématicien mayennais Alexis Jean Pierre Paucton mourut le vendredi 15 juin 1798, peut-on déterminer quel jour de la semaine expira Constantin François Chasseboeuf, comte de Volney ? on sait que c'était le 25 avril 1820 ...
On peut commencer par compter les années qui séparent le 15 juin 1798 du 15 juin 1820 : il y en a 22 dont 5 sont bissextiles (1804, 1808, 1812, 1816 et 1820) ; cela représente donc 17 * 365 + 5 * 366 = 8035 jours.
On retranche ensuite les 51 jours qui séparent le 25 avril du 15 juin, ce qui permet d'affirmer qu'il s'est écoulé 7984 jours entre les deux dates.
Une simple division par 7 montre que cela représente 1140 semaines entières plus quatre jours.
En négligeant ces quelques semaines entières, on observe donc un décalage de quatre jours entre les deux dates :
Volney s'est donc éteint un mardi (quatre jours après un vendredi).
Le raisonnement utilisé dans la solution du problème ci-dessus est à la base de bon nombre de formules cachées derrière les tableaux joints à cet article ; il s'agit de la théorie des congruences : seul le reste de la division de 7984 par 7 est important ; c'est 4 et l'on dit que 7984 est congru à 4 modulo 7.
7. calendrier perpétuel
Il n y a en fait que quatorze calendriers différents, déterminés par deux critères :
a) l'année est ou n'est pas bissextile
b) le premier janvier est un lundi, un mardi, un mercredi, un jeudi, un vendredi, un samedi ou un dimanche.
Ces quatorze calendriers sont tous représentables à l'aide d'un calendrier perpétuel, dans lequel le premier jour de l'année est A, le second B, le troisième C... le 28 février C, le 29 février et le 1° mars D, le 2 mars E etc...
Il suffit de connaître la lettre dominicale de l'année, lorsque cette année n'est pas bissextile et ne comporte donc pas de 29 février ; pour une année bissextile, on a deux lettres dominicales : la première valable pour les mois de janvier et février, la seconde pour les dix autres mois.
Ce calendrier perpétuel (dont la réalisation est laissée aux bons soins du cyberlecteur curieux) est à utiliser avec les tableaux donnant les lettres dominicales des années 1297 à 2108
Tableau 3 ; chacun est à même de déterminer suivant ses besoins la ou les lettres dominicales d'une autre année ; il suffit d'utiliser la théorie des congruences et les deux résultats suivants :
a) avant 1582, les années forment des cycles de 28 ans. Ainsi, par exemple, la lettre dominicale de 1025 est la même que celle de 1305 puisque 1305 = 1025 + 28 * 10
b)après 1582, les années forment des cycles de 400 ans, mais cela ne concernera que les historiens de demain !
Les quatorze calendriers (plus un quinzième pour 1582) différents peuvent être obtenus par le choix de
Tableau 2.
8. explications
Nous avons vu qu'une année ordinaire compte 52 semaines plus un jour, alors qu'une année bissextile est constituée de 52 semaines et deux jours ; autrement dit, 365 est congru à 1 modulo 7 tandis que 366 est congru à 2 modulo 7.
Ainsi, en négligeant les semaines entières, on peut considérer par exemple le 5 janvier 1999 comme le lendemain du 5 janvier 1998 ; le 5 janvier 1998 étant un Lundi, le 5 janvier 1999 est un Mardi ; en 1998, la lettre dominicale est D car le 4 janvier est un Dimanche ; en 1999, le 3 janvier est un Dimanche, et la lettre dominicale est donc C (lettre associée au 3 janvier dans le calendrier perpétuel).
Le même raisonnement permet d'imaginer que le 8 janvier 1997 est le surlendemain du 8 janvier 1996 (année bissextile) ; le 8 janvier 1996 est un Lundi, le 7 janvier étant un Dimanche, la lettre dominicale pour janvier et février 1996 est G (lettre associée au 7 janvier dans le calendrier perpétuel) ; en 1997, le 8 janvier est un Mercredi (surlendemain du Lundi) et donc le 5 est un Dimanche, d'où la lettre dominicale E (lettre associée au 5 janvier dans le calendrier perpétuel).
Le 15 juin 1996 est un Samedi, le 16 est donc un Dimanche, or la lettre du 16 juin est F, si bien que la lettre dominicale est F pour les mois de mars à décembre 1996.
On comprend à la lecture des quelques exemples ci-dessus qu'une année ordinaire a une et une seule lettre dominicale, et qu'une année bissextile en a deux : la première pour les mois de janvier et février, la seconde pour tous les autres mois.
Indiquons quelques lettres dominicales pour bien voir la régularité de leur attribution :
... ; 1996 : G & F ; 1997 : E ; 1998 : D ; 1999 : C ; 2000 : B & A ; 2001 : G ; ...
On voit que ces lettres sont réparties dans l'ordre inverse de celui dans lequel on les trouve dans la suite immuable et infinie ... A, B, C, D, E, F, G, A, B, C, D, E, F, G, A, B, C, D, E, F, G, A, B, C, D, E, F, G... ; il y a donc une extrême facilité à établir les tableaux indiquant pour chaque année sa ou ses lettres dominicales ; on notera l'existence d'un cycle de 28 ans qui se trouve perturbé (depuis 1582) chaque fois que l'on rencontre une année séculaire dont le millésime n'est pas un multiple de 400 (année non bissextiles, bien que leur numéro se trouve être multiple de 4).
9. utilisation
Il n'est pas très difficile de se servir des divers tableaux annexés pour trouver le jour de la semaine correspondant à telle ou telle date ; nous allons expliquer en détail la technique sur trois exemples et proposons au lecteur de vérifier sa compréhension du processus sur quelques autres dates, après quoi ce dernier sera en mesure de " traiter " les dates de son choix !
Le premier mariage d' Ambroise Paré, chirurgien lavallois, a été célébré le 30 juin 1541 ; quel jour était-ce ?
la lettre dominicale de 1541 est B (
Tableau 3) ;
au 30 juin est associé Jeudi (
Tableau 2 ; calendrier B).
Il s'agit donc d'un Jeudi.
René Antoine de Ferchaut de Réaumur, physicien et naturaliste, est décédé dans sa terre mayennaise de Saint Julien du Terroux dans la nuit du 17 au 18 octobre 1757 ; quel jour était ce 18 octobre 1757 ?
la lettre dominicale de 1757 est B (
Tableau 3) ;
au 18 octobre est associé Mardi (
Tableau 2 ; calendrier B).
Il s'agit donc d'un Mardi.
L'Echo de la Mayenne du 5 septembre 1852 publie un article signé Charles Maignan consacré aux tableaux de Jean Baptiste Messager, dessinateur et peintre lavallois ; quel jour était-ce ?
les lettres dominicales pour 1852 sont D & C (
Tableau 3) ;
au 5 septembre est associé Dimanche (
Tableau 2 ; calendrier DC).
Il s'agit donc d'un Dimanche.
Le lecteur peut maintenant s'entrainer en vérifiant que :
Le second mariage d'Ambroise Paré a eu lieu le 18 janvier 1574 ; c'était un ... Lundi.
Ambroise Paré est mort le ... Jeudi ... 20 décembre 1590.
David Rivault de Fleurance, probablement originaire de La Cropte (Mayenne), devint lecteur en mathématiques de Louis XIII par brevet du 28 avril 1611 ; c'était un ... Jeudi.
Volney est né le 3 février 1757 ; c'était un ... Jeudi.
Jean Cottereau, dit Jean Chouan, est mort quelque part dans le bois de Misedon (en Mayenne), le ... Lundi ... 28 juillet 1794.
A vous de jouer, maintenant !
10. remarque
Il faudra néanmoins se méfier des dates antérieures à 1564, pour lesquelles le début de l'année n'est pas nécessairement le premier janvier, et peut varier d'un endroit à un autre !
II. Fêtes religieuses
Les jours de la semaine ne sont pas seuls pour rythmer notre vie et notre histoire : les fêtes ont une grande importance également dans nos calendriers.
1. fêtes fixes ou mobiles
Noël (le 25 décembre), la Toussaint (le 1° novembre), l'Assomption (le 15 août), le jour de l'an (le 1° janvier) sont des fêtes dont la date est fixe ; elles peuvent donc correspondre à n'importe quel Jour (lundi, mardi, mercredi, jeudi, vendredi, samedi ou dimanche) ...
Par contre, Pâques -un dimanche-, l' Ascension -un jeudi-, la Pentecôte -un dimanche- sont des fêtes mobiles, dont la date change d'une année à l'autre.
Alors que les lettres dominicales et le calendrier tel qu'il a été défini plus haut sont liés au cycle solaire de 28 ans (sauf perturbations induites par trois années séculaires sur quatre), les dates des fêtes mobiles dépendent de la lune.
2. Pâques
Depuis l'année 325, la date de Pâques est fixée, théoriquement, au dimanche qui suit la première pleine lune de printemps.
L'unique contrainte ci-dessus permet à Pâques d'occuper n'importe quelle place entre le 22 mars et le 25 avril.
3. l'Ascension
Quarantième jour d'une période commençant à Pâques, l'Ascension est donc un jeudi, 39 jours exactement après le dimanche de Pâques.
Ce jeudi se situe entre le 30 avril et le 3 juin inclus.
4. la Pentecôte
Cinquantième jour de la période commençant à Pâques, la Pentecôte a lieu un dimanche, exactement 49 jours après le dimanche de Pâques.
Ce dimanche peut se situer entre le 10 mai et le 13 juin inclus.
5. le comput
c'est le comput écclésiastique qui permet d'établir le calendrier et d'y fixer les fêtes ; les éléments de ce comput à prendre en considération et que l'on peut trouver sur le " calendrier des postes " ou " almanach du facteur " sont :
la lettre dominicale qui indique les dimanches sur le calendrier perpétuel ;
le rang dans le cycle dominical ou cycle solaire compris entre 1 et 28 ;
l'épacte ou âge de la lune à la veille du 1° janvier compris entre 0 et 29 ;
le nombre d'or ou nombre de Méton compris entre 1 et 19.
C'est ce dernier élément qui nous intéressera au premier chef, car il permet de calculer le nombre de jours entre le jour du printemps et la première pleine lune qui suit.
6. restrictions
Nous nous limiterons à la période allant de 1900 à 2089, pour laquelle il nous a été possible de vérifier l'exactitude des dates de Pâques pour les 150 premières années.
Il est en effet nécessaire d'avoir à l'esprit que la lune écclésiastique n'est pas tout à fait la lune vraie, et que de temps en temps, certains correctifs doivent être apportés.
7. la pleine lune
La première pleine lune de printemps (entre 1900 et 2108) a lieu R jours après le 21 mars.
On devrait effectuer le calcul de R de la manière suivante :
R = mod ( 19 * mod ( A ; 19 ) + 24 ; 30 )
où mod ( p ; q ) représente le reste de la division de p par q (appelé p modulo q).
et A est le millésime de l'année.
R varie donc de 0 (jamais obtenu) à 29, et l'on a un problème qui nous contraint à diminuer R de 1 chaque fois que le résultat trouvé est soit 29, soit 28 ; nous aurions autrement des résultats erronés pour les dates de Pâques de quelques années dont 1954.
La formule corrigée que nous avons utilisée est la suivante :
R = MIN ( r ; MAX (28 ; r ) - 1)
où r = mod ( 19 * mod ( A ; 19 ) + 24 ; 30 )
MIN ( a ; b ) représente le plus petit des nombres a et b
MAX ( a ; b ) représente le plus grand des nombres a et b
mod ( p ; q ) représente le reste de la division de p par q
A est le millésime de l'année
On notera que 1 + mod ( A ; 19 ) est le nombre d'or de l'année A, c'est à dire son rang dans le cycle de Méton ; ce nombre varie de 1 à 19.
8. deux exemples
Soit tout d'abord le cas de 1900 :
A = 1900 est évidemment un multiple de 19, donc mod ( A ; 19 ) = 0 ; le nombre d'or est 1.
19 * mod ( A ; 19 ) + 24 = 19 * 0 + 24 = 24
et le reste de la division de 24 par 30 est bien sûr 24, donc r = 24
notons que MAX ( 28 ; 24 ) = 28 ; ainsi, R = MIN ( 24 ; 27)
donc R = 24.
la pleine lune a donc lieu le 21 + 24 soit le 45 mars qu'on appelle plus généralement 14 avril puisque mars a 31 jours.
Soit maintenant l'année 1954 :
A = 1954 et la division de 1954 par 19 donne pour reste 16, donc mod (A ; 19 ) = 16 ; le nombre d'or est 17.
19 * 16 + 24 = 328 qui est congru à 28 modulo 30
donc r = 28
puisque MAX ( 28 ; 28 ) = 28 on a R = MIN ( 28 ; 27 )
donc R = 27
la pleine lune a donc lieu le 21 + 27 soit le 48 mars qu'on appelle plus généralement 17 avril puisque mars n'a que 31 jours.
Tous les autres exemples peuvent être traités à l'identique, mais l'on retiendra qu'il n'y a que 19 résultats différents de R associés aux 19 valeurs possibles du nombre d'or.
Le
Tableau 4 donne le nombre d'or, R et la date admise (qui peut différer légèrement de la date vraie) de la première pleine lune de printemps pour les années allant de 1900 à 2089.
9. Pâques, Ascension et Pentecôte
La connaissance de la date de la première pleine lune de printemps permet de déterminer la date de Pâques qui, rappelons le est le premier dimanche suivant ce jour.
Une première méthode consiste à rechercher la lettre dominicale (table 3) puis à lire dans le calendrier correspondant (table 2) la date du dimanche recherché :
En 1900, par exemple, la lettre dominicale est G et le premier dimanche suivant le 14 avril est le 15 avril : c'est le dimanche de Pâques.
En 1954, la lettre dominicale est C et le premier dimanche suivant le 17 avril est le 18 avril : c'est la date de Pâques.
Une seconde méthode, que nous avons utilisée, car elle présente l'avantage de faire travailler la puce (microprocesseur) à notre place est plus mathématique et réside dans les formules ci-dessous :
N = 28 + R - MOD ( 3 + A - 1900 + ENT ( ( A - 1900 ) / 4 ) + R ; 7 )
PAQUES = SI ( N < 32 ; N & " mars" ; N - 31 & " avril" )
faciles à apprendre à un tableur !
N.B. : ENT ( nbre ) désigne la partie entière de nbre c'est à dire l'entier immédiatement inférieur à nbre ; par exemple, ENT ( 74 / 4 ) = ENT ( 18,5 ) = 18 .
Une fois la date de Pâques déterminée, c'est un jeu d'enfant de trouver les dates respectives des deux autres fêtes mobiles que sont l'Ascension et la Pentecôte :
ASCENSION = SI ( N + 39 -61 < 32 ; N + 39 - 61 & " mai"; N + 39 -92 & " juin" )
PENTECOTE = SI ( N + 49 - 61 < 32 ; N + 49 - 61 & " mai" ; N + 49 - 92 & " juin" )
Le
Tableau 5 donne année après année, de 1801 à 1999 les dates de Pâques (un dimanche), de l'Ascension (un jeudi) et de la Pentecôte (un dimanche) ; on y a rajouté Mardi-Gras et Mi-Carème (voir article calendrier liturgique).
Le
Tableau 6 regroupe de façon différente les résultats du
Tableau 5 de 1900 à 2089 ; il a l'avantage de tenir moins de place, l'inconvénient de présenter les années dans le désordre.
III. Calendrier républicain
Le
Tableau 7 présente en quatre variantes, car il y a quatre correspondances différentes, la possibilité de convertir une date du calendrier républicain (en usage essentiellement de novembre 1793 à janvier 1806) en son équivalent dans le calendrier grégorien ; et vice et versa....
Ainsi, par exemple, le premier Préfet de la Mayenne, Nicolas François Harmand, a été installé à Laval le 11 Germinal de l'An VIII ; le tableau de conversion de type 2 nous indique qu'il s'agit du 1 avril 1800 (un mardi...voir calendrier perpétuel).
Lorsque le mathématicien Paucton est décédé, le vendredi 15 juin 1798, c'était aussi le 27 Prairial de l'An VI, comme nous le montre le tableau de conversion de type 1...
Maximillien Robespierre est mort le 10 Thermidor de l'An II ; le tableau de conversion de type 1 nous apprend que c'était également le 28 juillet 1794, c'est à dire le jour où mourut Jean Chouan !
Opérations et fonctions
* multiplication
+ addition
- soustraction
/ division
MIN ( a ; b ) minimum ou plus petit des deux nombres a et b
MAX ( a ; b ) maximum ou plus grand des deux nombres a et b
mod ( p ; q ) reste de la division du nombre p par le nombre (non nul) q
ENT ( n ) partie entière du nombre n
< inférieur strictement
SI ( condition ; commande si oui ; commande si non )
provoque l'affichage
de commande si oui si la condition est remplie
de commande sinon dans le cas contraire
N & " texte " dans une commande, affiche le nombre représenté par
la variable N suivi du texte entre guillemets
Ouvrages consultés
Le Petit Larousse illustré (édition 1995)
Quid (édition 1986)
Dictionnaire de la Mayenne (Abbé Angot)
Jean-Baptiste Messager (Musées de Laval ; éditions Siloë)
4 mars 1999
Gilles Hainry
Université du Maine
Institut Universitaire de Technologie de Laval
Département Techniques de Commercialisation
52 rue Calmette et Guerin ... 53000 LAVAL (France)
Email: gilles.hainry_at_univ-lemans.fr