Jeux Mathématiques et Logiques
service maintenu par Gilles HAINRY, agrégé de mathématiques,
Université du Maine
I.U.T. Techniques de Commercialisation
53000 LAVAL
(France)
email : gilles.hainry_at_ univ-lemans.fr
Problèmes (Quatorzième série)
Une fois n’est pas coutume : ceci est un véritable sujet de mathématiques proposé aux étudiants de deuxième année du département " Tech de Co " de l’I.U.T. de Laval, le 12 décembre 2006.
Deux heures avec les Pieds Nickelés
Lorsqu’il créa les Pieds Nickelés au début du siècle dernier, Louis FORTON ne se doutait pas que cent ans plus tard ses personnages : Ribouldingue le barbu, Filochard le borgne et Croquignol l’homme au long nez, seraient les héros d’un devoir de mathématiques ! On les rencontre pour la première fois dans l’Epatant en 1908, quelques mois après la mort d’Alfred Jarry ; Les Pieds Nickelés survivront à Louis FORTON, décédé en 1934, grâce à PERRE, puis BADERT, et enfin René PELLOS qui de 1948 à 1981 dessinera de nombreux épisodes des aventures de ces trois sympathiques crapules.
I – Les Pieds Nickelés banquiers
(variables aléatoires)|
Avec du plomb, de l’arsenic et un peu d’or, Croquignol a réussi à fabriquer 9 faux lingots ; de son côté, Filochard, champion de la débrouille a pu se procurer (malhonnêtement) 4 vrais lingots. Doté d’un sens du commerce assez développé, Ribouldingue parvient à céder à Norbert le Fourgue 6 lingots choisis aléatoirement parmi les 13 (dont 4 seulement sont vrais) dont dispose le trio, pour la coquette somme de 24 000 €. Plus tard, Norbert le Fourgue constate qu’il a été roulé, se débarrasse des faux lingots et revend chaque vrai lingot 13 000 €. |
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On note X la variable aléatoire égale au nombre de vrais lingots acquis par Norbert et B son bénéfice après la revente de ces vrais lingots. Déterminer la loi de X ; Calculer l’espérance de X ; Calculer l’écart-type de X ; Exprimer B en fonction de X ; En déduire l’espérance de B. |
N.B. : les fractions seront simplifiées au maximum et l’on en donnera des valeurs approchées arrondies au millième.
II – Les Pieds Nickelés en prison
(analyse combinatoire)|
Arrêté par la police, Norbert le Fourgue a dénoncé les Pieds Nickelés qui, ayant eu la chance d’avoir affaire à un juge bienveillant se retrouvent enfermés dans la même cellule. Ils passent leur temps à se poser des questions pour entretenir leur forme intellectuelle, ou à jouer avec un jeu de 32 cartes ou encore à échafauder des projets d’avenir. -> Filochard s’intéresse aux anagrammes. Combien y a t-il d’anagrammes… - de FILOCHARD ? - de TOMBOUCTOU ? -> Croquignol étudie les mains de 5 cartes. Combien en existe t-il de différentes… - contenant au moins 1 cœur ? - contenant exactement 3 rois et exactement 1 pique ? - contenant au moins 1 as et au moins 1 cœur ? |
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N.B. : le vocabulaire et les notations du cours doivent être impérativement utilisés ; des explications claires seront fournies et les valeurs exactes de chacun des nombres calculées.
III – Les Pieds Nickelés et le raid Paris-Tombouctou
(probabilités conditionnelles)|
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Ayant bénéficié d’une remise de peine pour bonne conduite, nos champions du système D sont sortis de prison et se sont engagés dans le raid Paris-Tombouctou. Lors de la dernière étape : Bamako-Tombouctou, les équipages ont la possibilité de passer par Mopti ou d’éviter cette ville dont la traversée ralentit l’allure. On sait que deux équipages sur trois préfèrent éviter Mopti. Si les Pieds Nickelés évitent Mopti, la probabilité qu’il leur arrive un incident fâcheux est 3/5 ; cette probabilité n’est que de 3/10 s’ils passent par Mopti. Les Pieds Nickelés remportent l’étape sans qu’il leur soit arrivé d’incident fâcheux ; quelle est la probabilité qu’ils soient passés par Mopti ?
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N.B. : un schéma peut être réalisé et les notations doivent être explicitées.
IV - Les Pieds Nickelés coureurs de dot
(théorie des ensembles)|
Ribouldingue est prêt à se marier.
Le choix est difficile car 100 femmes sont amoureuses de lui ; 90 d’entre elles sont riches, 80 sont belles et 70 sont intelligentes ; quelques-unes ne sont ni belles, ni intelligentes, ni riches, mais elles sont 19 fois moins nombreuses que celles qui cumulent les trois qualités ; de plus, celles qui n’ont qu’une seule des trois qualités sont riches et c’est parmi elles que Ribouldingue est enclin à choisir. Quel est le nombre de femmes qui ont des chances d’être choisies par le barbu ?
N.B. : un dessin est nécessaire, de même que la définition des variables introduites dans la démonstration.
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Il sera tenu le plus grand compte de la présentation et de la rédaction. Bon courage
Gilles HAINRY
Les images sont empruntées à René PELLOS, décédé en 1998 à l'âge de quatre-vingt-dix-huit ans ; ses albums sont édités par la société parisienne d'édition et réédités par les éditions Vent d'Ouest.
20 décembre 2006
