Jeux Mathématiques et Logiques
service maintenu par
Gilles HAINRY, agrégé de mathématiques,email : gilles.hainry_at_univ-lemans.fr
Solutions des
Problèmes (Deuxième série)
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Gilles HAINRY
1. Les dates de Rébecca
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Gilles HAINRY
Monsieur Lendrier est un passionné de calcul: chaque fois qu'il le peut, il invente de nouveaux problèmes pour sa fille Rébecca âgée de onze ans. Aujourd'hui, son propos est relatif au calendrier de l'année 1993:
M. Lendrier: Sais-tu qu'une date de 1993 est constituée de trois données: un jour J (lundi, mardi, mercredi, ... dimanche); un quantième Q (1, 2, 3, 4, ... 31); et un mois (janvier, février, ... décembre).
Rébecca: Bien sûr, par exemple aujourd'hui samedi 20 mars: J est samedi; Q vaut 20 ; M égale mars.
M. Lendrier: C'est cela! Une date est donc toujours de la forme J Q M.
Rébecca: Oui, mais où est le problème?
M. Lendrier: Le voilà: tu sais que le vendredi 1 janvier 1993 est le premier vendredi de l'année; tu peux vérifier que le samedi 6 février est le sixième samedi de l'année et que le samedi 31 juillet est le trente-et-unième samedi de 1993.
Rébecca: Tu as raison, je crois.
M. Lendrier: Bien, mais pourrais-tu trouver toutes les dates qui cette année vérifient cette curieuse propriété?
Laissons Rébecca réfléchir...
Mais, au fait, combien de dates, en 1993, sont telles que J Q M est le Q-ième J de 1993
?
Solution :
Ven 1 jan; sam 6 fév; mer 10 mar; jeu 15 avr; ven 16 avr; jeu 20 mai; ven 21 mai; sam 26 juin; sam 31 juil. Au total, 9 dates
Bonnes réponses de :
Thomas Ducordeau, de Le Ham (Mayenne, France)
entre autres
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2. Ah mes aïeux !
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Gilles HAINRY
Eugène Alogic, fils d'Anne Atème et de Diogène Alogic, a décidé de rechercher ses ancêtres pour établir son arbre généalogique.
Plus ses recherches avancent et plus le nombre de ses ancêtres recensés augmente; aussi décide t-il, pour s'y retrouver de les numéroter de la fâçon suivante:
Il se donne le numéro 1 et décide que pour tout ancêtre de numéro N, la mère de cet ancêtre aura le numéro obtenu en multipliant N par deux; le père de cet ancêtre de numéro N aura quant-à lui le numéro obtenu en ajoutant un au résultat de la multiplication de N par deux.
Tout naturellement, Anne Atème se voit affecter le numéro 2, et Diogène Alogic le numéro 3.
Quel sera le numéro du père du grand-père paternel de la mère de la grand-mère maternelle d'Eugène ?
8 9 10 11 12 13 14 15
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------- -------- -------- -------
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Sarah Stéphane Victoire Pierre
VIGOTE ATEME MERITEE ALOGIC
4 5 6 7
| | | |
--------------- ----------------
| |
| |
Anne Diogène
ATEME ALOGIC
2 3
| |
-----------------------------------------
|
Eugène
ALOGIC
1
Solution :
La mère de Sarah Vigote a le numéro 8; son grand-père paternel a donc le numéro 2 * ( 2 * 8 + 1 ) + 1 = 35 et le père de ce dernier porte par conséquent le numéro 2 * 35 + 1 = 71
Bonnes réponses de :
Charlie Plourdeau, de Mayenne
Ernest Aimard, lycée Fermat de Toulouse
entre autres
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3. Les bicyclettes chinoises
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Gilles HAINRY
Dans une petite ville de Chine, au bord du fleuve Amour, vivent 3333 familles qui ont chacune au moins une bicyclette. Aucune famille ne possède plus de trois bicyclettes; il y a autant de familles propriétaires de trois bicyclettes que de familles qui n'en ont qu'une; le nombre de familles qui possèdent deux bicyclettes est neuf fois plus grand que le nombre de celles qui en possèdent trois.
Combien y a t-il de bicyclettes dans cette ville ?
Solution :
En visite dans cette petite ville, le Grand Timonier demande à chaque
famille qui possède trois vélos d'en donner un à une famille qui n'en
a qu'un. Chacune des 3333 familles se retrouve alors propriétaire de
deux vélos exactement.
Il y a donc, en vertu du principe du Grand Lavoisier 6666 bicyclettes
Bonnes réponses de :
Arnaud Duperray, CSTB, Sophia Antipolis
Loïc Bugeon de Saint Berthevin (Mayenne, France)
Jean Rossier, école d'Aubonne (Suisse)
entre autres
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4. Péché monastique
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Gilles HAINRY
Dans les Hautes-Pyrénées, les moines de l'abbaye de Tournay fabriquent de délicieuses pâtes de fruits en forme de parallélépipèdes rectangles de côtés 25 mm, 25 mm et 15 mm.
Frère Jean qui est préposé à l'emballage, est gourmand et joueur; un jour, après avoir englouti quelques-unes de ces merveilleuses friandises, il décide d'en regrouper quelques autres pour en faire un cube plein; bien sûr, Jean s'interdit de modifier la forme de ses pâtes de fruit et de les couper en morceaux.
Combien de pâtes de fruit faut-il à Jean pour réaliser le plus petit cube possible ?
Solution :
3 * 25 = 5 * 15 . Frère Jean va "monter" 5 étages de 3 rangées de 3 pâtes de fruit. Il lui faut 3 * 3 * 5 = 45 pâtes de fruit
Bonnes réponses de :
Hélène Aveneau, de Laval
entre autres
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5. Roues de secours
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Gilles HAINRY
Raymond Lascience, le casseur, possède dix-sept voitures à quatre roues; toutes ses autres automobiles ont exactement cinq roues.
Perturbé par la disparition de ces roues de secours qu'il n'a pas souvenir d'avoir vendues, Raymond décide de comptabiliser toutes les roues de ses véhicules.
Après plusieurs vérifications, il est en mesure d'affirmer que le nombre total de roues est deux cent quarante-huit.
Combien Raymond a-t-il de voitures ?
Solution :
Redonnons à Raymond les 17 roues qui lui manquent; il aura alors
248 + 17 = 265 roues et toutes ses voitures auront 5 roues.
Raymond a donc 265 / 5 = 53 véhicules.
Bonnes réponses de :
Alexandre Berchemin, du Québec
Jean Rossier, école d'Aubonne (Suisse)
Virginie Mahier et Céline Mézière, de Laval
entre autres
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6. ; Les pluviomètres
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Gilles HAINRY
Jonathan Dechien a trouvé deux vieux aquariums cubiques dans le grenier de sa grand-mère; ces deux récipients sont dépourvus de couvercle; le premier a une hauteur de 30 cm; la hauteur du second est 20 cm.
Jonathan dépose ces deux pluviomètres improvisés, vides, côte à côte, au beau milieu du jardin de sa mère-grand; après une averse diluvienne, il y a une hauteur d'eau de 24 mm dans le premier récipient.
Quelle est alors la hauteur d'eau dans le second ?
Solution :
Le jardin de grand-mère est en général uniformément arrosé.
Il y aura après l'averse la même hauteur d'eau dans les deux
récipients, soit 24 mm.
Bonnes réponses de :
Patricia Longeany, de Craon
entre autres
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7. Une drôle de voyelle
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Gilles HAINRY
" L'énoncé de ce problème commence là! "
C'est en ces termes que le Professeur Levoyou, s'adressa un jour à ses jeunes élèves avant de leur raconter que, dans son jeune âge, il avait effectué des recherches de linguistique qui lui avaient valu d'être un moment célèbre et vénéré...
Le Professeur Levoyou avait en effet été un éminent spécialiste d'une certaine voyelle; il avait même rédigé une thèse intitulée: de l'occurence de la neuvième lettre de l'alphabet dans les fables de Monsieur Jean de LA FONTAINE.
Cette voyelle, on la trouve dans OUI, mais pas dans NON; elle est présente dans ANTICONSTITUTIONNELLEMENT, mais surtout dans INDIVISIBILITE.
Combien de fois, minuscule ou MAJUSCULE, cette curieuse voyelle apparait-elle dans cet énoncé qui se termine par un point d'interrogation ?
Solution :
La voyelle mystérieuse mérite qu'on mette un point final à son
incognito: il s'agit bien entendu d'un I, oui, d'un i.
Il y en a sans doute 43 dans l'énoncé.
Bonnes réponses de :
Aurélie Gagner, Collège Michelet, Pointe à Pitre
entre autres
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8. Des pommes, des poires, et des ...
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Gilles HAINRY
Chez Tom Hatte le vendeur de fruits et légumes de Chouville, toutes les pommes sont au même prix; toutes les poires ont la même valeur; aucune banane ne coûte plus cher qu'une autre.
Prosper achète deux pommes, une poire et une banane pour 12 F.; Oscar achète sept poires pour 21 F.; Irma achète trois poires et cinq pommes pour 19 F.; Roméo achète deux bananes, une pomme et deux poires.
Combien va payer Roméo?
Solution :
Une poire vaut 21 / 7 = 3 F.;
une pomme coûte par conséquent
( 19 - [ 3 * 3 ] ) / 5 = 2 F.;
le prix d'une banane chez Tom
est donc de 12 - [ 3 + ( 2 * 2 ) ] = 5 F.
Roméo doit payer ( 2 * 5 ) + 2 + ( 2 * 3 ) = 18 F.
Bonnes réponses de :
Alexandre Berchemin, du Québec
Stéphanie Loislard d'Arquenay (Mayenne, France)
Cindy Leriche de Grazay (Mayenne, France)
entre autres
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9. Le pentagone et les trigones
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Gilles HAINRY
Autrefois, il arrivait que l'on nommât trigone ce qui n'est plus aujourd'hui qu'un triangle: un ensemble de trois points non alignés; certains petits malins s'amusent à appeler pentangle ce que l'on nomme plutôt pentagone, c'est à dire un ensemble de cinq points dont trois quelconques ne sont pas alignés...
Soient P, E, N, T, A, cinq points formant un pentagone; combien peut-on trouver de triangles différents formés par trois points du pentagone ?
Solution :
Avec les sommets du pentagone PENTA , on peut obtenir les
triangles APE , TNP , NEP , mais aussi ETA et TAN ,
puis ANE et NET ou PET et PAN sans oublier bien
sûr APT.
Cela donne un total de 10 triangles.
Bonnes réponses de :
Alexandre Berchemin, du Québec
entre autres
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décembre 1998