Angle solide [Métrologie optique]

L'angle solide sous lequel un objet est vu depuis un point d'observation \(O\) est le rapport entre l'aire de la projection conique du contour apparent de cet objet sur une sphère centrée en \(O\), par le carré du rayon de la sphère (figure 2.1).

Cette grandeur, qui est le rapport entre une surface et le carré d'une distance, est exprimée en stéradians (\(sr\)). Elle représente l'extension dans l'espace de la notion d'angle qui est défini généralement dans un plan. On a

Ω = \frac{S}{d^{2}}

Figure 2.1 : définition de l'angle solide

Si l'objet est plan et si ses dimensions transversales sont petites vis à vis de sa distance au point \(O\), l'angle solide élémentaire s'exprimera

d Ω = \frac{dS cos θ}{d^{2}}

\(dS\) étant la surface réelle de l'objet et \(\theta\) étant l'angle entre la normale de l'objet et la direction d'observation (figure 2.2). Le terme \(dscos\text{ }\theta\) est la surface apparente de l'objet dans la direction d'obliquité dont le facteur est \(dscos\text{ }\theta\).

Si l'objet est perçu sous la forme d'un disque de rayon \(R(dS=\pi R^{2})\) dont le rayon angulaire \(\alpha\) (demi angle au sommet) est petit alors l'angle solide pour cet objet est donné par (figure 2.3)

Ω = \frac{{πR}^{2}}{d^{2}} ≃ {πα}^{2}

Figure 2.3 : angle solide pour un disque

Considérons maintenant un angle solide élémentaire défini par une couronne de rayon \(R\) dont le rayon angulaire moyen est \(\alpha\) et la largeur angulaire \(d\alpha\). Le disque de rayon \(R\) a une surface \(S=\pi R^{2}\) et pour une variation \(dR\) du rayon, la surface de la couronne \(dS=2\pi RdR\) (figure 2.3). L'angle solide vaut donc

d Ω = \frac{dS cos α}{d^{2}} = \frac{2 π RdR cos (α)}{d^{2}} = 2 π \frac{R}{d} \frac{dR}{d} cos (α)

comme \(\text{tan} (\alpha )=\frac{R}{d}\) et \(d\alpha =\frac{dR}{d}\), il vient :

d Ω = 2 π sin (α) dα

Figure 2.4 : angle solide pour une couronne

Pour un cône de révolution de demi-angle au sommet \(\alpha_{M}\), l'angle solide est donné par

Ω = \int_{0}^{α_{M}} d Ω = \int_{0}^{α_{M}} 2 π sin (α) dα = 2 π (1 - cos α_{M})

Figure 2.5 : angle solide pour un cône de révolution

L'angle solide correspondant à un demi espace est donné par

Ω_{demi - espace} = \int_{0}^{π / 2} d Ω = 2 π sr

et pour l'espace tout entier on a

Ω_{espace} = \int_{0}^{π} d Ω = 4 π sr