Jeux Mathématiques et Logiques
service maintenu par Gilles HAINRY, agrégé de mathématiques,
Université du Maine
I.U.T. Techniques de Commercialisation
53000 LAVAL
(France)
email : gilles.hainry_at_ univ-lemans.fr
Problèmes (Vingt-troisième série)
Deux fois ne sont pas coutume (*) : ceci est un véritable sujet de mathématiques proposé aux étudiants de deuxième année du département " Tech de Co " de l’I.U.T. de Laval, le 7 décembre 2011.
Deux heures avec Gédéon le canard
Benjamin RABIER (1864 ; 1939) est né á la Roche sur Yon, en Vendée ; grand spécialiste de dessin animalier, il illustra les fables de La Fontaine (1906) et fournit á Léon BEL le dessin de la fameuse « Vache qui rit » (1921). Il est également l’auteur et l’illustrateur de la bande dessinée « Gédéon le canard » dont seize albums furent publiés entre 1923 et 1939. .
I – Les aventures de Gédéon
(analyse combinatoire)|
Hilaire GLYNS et son épouse viennent d’acquérir les 16 albums des aventures de Gédéon ; ils vont faire connaissance avec Placide, le chien qui vit à la ferme avec Gédéon en Vendée, avec Bout de Zan, le singe du château des Corneilles qui sait conduire une voiture… puis avec tous les autres amis de Gédéon… . |
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1) Combien y a-t-il d’anagrammes de PLACIDE, de GEDEON ; de CORNEILLES, de VENDEE ? Parmi ces derniers, combien sont des palindromes ? 2) Combien y a-t-il de mots de neuf lettres utilisant exclusivement des lettres de GEDEON ? Combien d’entre eux sont des palindromes ? 3) Madame Glyns a décidé de lire aujourd’hui une suite ordonnée de 4 albums différents de Gédéon ; combien a-t-elle de possibilités ? |
Remarque importante : Vocabulaire et notations du cours d’analyse combinatoire doivent être utilisés. Les valeurs de chacun des nombres seront calculées ; des explications claires seront appréciées.
II – L’association sportive
(théorie des ensembles)|
Gédéon et ses animaux amis ont créé une association sportive en Pays de la Loire ; cette association qui a son siège social en Vendée compte 85 membres dont 72 sont joueurs de golf, 53 jouent au foot-ball et 49 manient l’aviron. |
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On notera E l’ensemble de ces 85 animaux associés.
De même, F (respectivement A et G) représentera l’ensemble de ceux qui pratiquent le foot-ball (respectivement l’aviron et le golf).
On désignera par f le nombre d’abonnés au farniente (qui ne sont pas sportifs), par s celui des super-sportifs (qui pratiquent les 3 sports), par a (respectivement b - puis c) celui des membres de l’association pratiquant foot-ball et aviron mais pas golf (respectivement golf et aviron mais pas foot-ball – puis foot-ball et golf mais pas aviron) et enfin par g le nombre de ceux qui ne sont que golfeurs.
4) Trouver cinq équations mettant en jeu les six inconnues (inconnues à gauche du signe « = » ; nombre entier à droite).
5) Montrer que f = 7 ; déterminer alors les six inconnues et conclure.
6) Quel sont les cardinaux des ensembles F U G ; G U A ; A U F ?
Remarque importante : Il s’agit là d’un exercice de théorie des ensembles ; il sera illustré par un dessin et les notations définies seront scrupuleusement respectées.
III – Hilaire le brocanteur
(variables aléatoires)|
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Retraité de l’enseignement, Hilaire Glyns s’adonne désormais à la brocante, écumant vide-greniers et autres salles des ventes ; certains de ses bons clients sont des tyrosémiophiles (i.e. : des collectionneurs d’étiquettes de fromage). |
On note X le nombre d’albums de valeur acquis par Hilaire, D sa dépense et G son gain (D et G sont exprimés en euros).
7) Déterminer la loi de la variable aléatoire X ; calculer son espérance et son écart-type.
8) Montrer que D = 216 et que G = 102.X – 108 ; calculer ensuite le gain moyen que peut espérer Hilaire.
Remarque importante : Il s’agit là de probabilités ; les solutions seront expliquées et présentées d’une part sous la forme de fractions irréductibles, d’autre part sous forme décimale avec trois chiffres significatifs.
IV - L’arrosage
(probabilités conditionnelles)|
Ami de Gédéon, l’éléphant Bouboule a été recruté pour arroser les plants de salade à la ferme.
Bouboule n’est pas très courageux et trois plants de salade sur huit, situés trop loin selon lui n’ont finalement jamais été arrosés ; un tiers seulement de ces salades négligées parviendra à maturité, donnant une salade propre à la consommation et à la vente. 9) Déterminer p(A) et p(V) ? 10) Hilaire Glyns a acheté une salade de la ferme ; quelle est la probabilité que Bouboule ait arrosé cette salade.
Remarque importante : Il s’agit là de probabilités conditionnelles ; cet exercice sera illustré à l’aide d’un arbre et les notations du cours seront utilisées.
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Il sera tenu le plus grand compte de la présentation et de la rédaction. Bon courage
Gilles HAINRY
Etiquettes de fromages mises à part, les images sont empruntées à Benjamin RABIER, décédé en 1939 à l'âge de soixante-quinze ans ; ses albums furent édités initialement par la librairie Garnier Frères et ont été réédités depuis par les éditions Hoëbeke dans les années 1990.
28 décembre 2011
