Rayonnement corps noir

Un corps quelconque recevant un rayonnement absorbe, réfléchi et transmet ce rayonnement. Si on note \(\alpha (\lambda )\) le coefficient d'absorption,\(\rho d(\lambda )\) l'albédo et \(\tau (\lambda )\) le coefficient du transmission ce corps alors, par conservation de l'énergie, nous avons

α ( λ ) + τ ( λ ) + ρ d ( λ ) = 1 size 12{α left (λ right )+τ left (λ right )+ρ rSub { size 8{d} } left (λ right )=1} {}

Pour un corps opaque, on a  \(\tau (\lambda )=0\) et \(\alpha (\lambda )+\rho (\lambda )=0\).

La loi de Kirchhoff postule que le pouvoir émissif d'un corps est égal à son coefficient d'absorption, c'est à dire que le corps ré-émet tout le rayonnement qu'il absorbe.

Un corps noir est un corps pour lequel le pouvoir émissif est constant et indépendant de la longueur d'onde, soit

ε ( λ ) = ρ d ( λ ) = 1 size 12{ε left (λ right )=ρ rSub { size 8{d} } left (λ right )=1} {}

Un tel corps se comporte comme une source lambertienne, sa luminance est indépendante de la direction d'émission.

ε ( λ ) = ρ d ( λ ) = 1 size 12{ε left (λ right )=ρ rSub { size 8{d} } left (λ right )=1} {}

Max Planck a montré que la luminance spectrique d'un corps noir est donnée par la relation suivante

∂ L CN ∂ λ = 2 hc 2 λ 5 1 exp ( hc λ kT ) − 1 ( W . m − 2 . sr − 1 . m − 1 ) size 12{ { { partial L rSub { size 8{ ital "CN"} } } over { partial λ} } = { {2 ital "hc" rSup { size 8{2} } } over {λ rSup { size 8{5} } } } { {1} over {"exp" left ( { { ital "hc"} over {λ ital "kT"} } right ) - 1} } ~ left (W "." m rSup { size 8{ - 2} } "." "sr" rSup { size 8{ - 1} } "." m rSup { size 8{ - 1} } right )} {}

où \(T\) est la température du corps et \(k=1,380662\times 10^{-23} \text{ J.K}^{-1}\) est la constante de Boltzmann. La figure 5.3 montre la luminance spectrique d'un corps noir en fonction de sa température. Plus le corps est chaud plus son maximum de luminance tend vers le domaine du visible.

Figure 5.3 : courbes de luminances spectriques du corps noir

Par exemple, la braise de barbecue se comporte comme un corps noir. Elle est noire à l'œil nu, lorsqu'on souffle dessus, elle chauffe et elle paraît alors orangée. Ceci est du à l'augmentation de sa température qui induit un déplacement de son rayonnement vers le visible.

Le maximum de luminance spectrique est donné par la loi de Wien,

∂ L CN ∂ λ | max = 2 × 5 5 k 5 h 4 c 3 ( e 5 − 1 ) T 5 size 12{ { { partial L rSub { size 8{ ital "CN"} } } over { partial λ} } \rline rSub { size 8{"max"} } = { {2 times 5 rSup { size 8{5} } k rSup { size 8{5} } } over {h rSup { size 8{4} } c rSup { size 8{3} } left (e rSup { size 8{5} } - 1 right )} } T rSup { size 8{5} } } {}

où

2 × 5 5 k 5 h 4 c 3 ( e 5 − 1 ) = 4 , 095 × 10 − 6 W . m − 2 . sr − 1 . m − 1 . K − 1 size 12{ { {2 times 5 rSup { size 8{5} } k rSup { size 8{5} } } over {h rSup { size 8{4} } c rSup { size 8{3} } left (e rSup { size 8{5} } - 1 right )} } =4,"095" times "10" rSup { size 8{ - 6} } `W "." m rSup { size 8{ - 2} } "." "sr" rSup { size 8{ - 1} } "." m rSup { size 8{ - 1} } "." K rSup { size 8{ - 1} } } {}

La longueur d'onde du maximum d'émission est donné par

λ max T = hc 5 k = 2897 , 79 μm . K size 12{λ rSub { size 8{"max"} } T= { { ital "hc"} over {5k} } ="2897","79"`μm "." K} {}

A la température \(T\), un corps noir a une luminance totale qui est donnée par la loi de Stephan,

L CN = ∫ 0 + ∞ ∂ L CN ∂ λ dλ = π 5 15 2 k 4 h 3 c 2 T 4 ( W . m − 2 . sr − 1 ) size 12{L rSub { size 8{ ital "CN"} } = Int rSub { size 8{`0} } rSup { size 8{+ infinity } } { { { partial L rSub { size 8{ ital "CN"} } } over { partial λ} } dλ} = { {π rSup { size 8{5} } } over {"15"} } { {2k rSup { size 8{4} } } over {h rSup { size 8{3} } c rSup { size 8{2} } } } T rSup { size 8{4} } ~ left (W "." m rSup { size 8{ - 2} } "." "sr" rSup { size 8{ - 1} } right )} {}

avec

η CN ( T ) = K m ∫ 0 + ∞ ∂ L CN ∂ λ V ( λ ) dλ ∫ 0 + ∞ ∂ L CN ∂ λ dλ = K m L CN ∫ 0 + ∞ ∂ L CN ∂ λ V ( λ ) dλ size 12{η rSub { size 8{ ital "CN"} } left (T right )=K rSub { size 8{m} } { { Int rSub { size 8{`0} } rSup { size 8{+ infinity } } { { { partial L rSub { size 8{ ital "CN"} } } over { partial λ} } V left (λ right )dλ} } over { Int rSub { size 8{`0} } rSup { size 8{+ infinity } } { { { partial L rSub { size 8{ ital "CN"} } } over { partial λ} } dλ} } } = { {K rSub { size 8{m} } } over {L rSub { size 8{ ital "CN"} } } } Int rSub { size 8{`0} } rSup { size 8{`+ infinity } } { { { partial L rSub { size 8{ ital "CN"} } } over { partial λ} } V left (λ right )dλ} } {}

Le corps noir émet majoritairement dans le domaine infrarouge. L'œil n'est donc sensible qu'à une très petite partie de son spectre de longueur d'onde. On définit alors l'efficacité lumineuse du corps noir à la température \(T\) comme le rapport entre la luminance visuelle du corps noir et sa luminance énergétique. On a donc en vision photopique

η CN ( T ) = K m ∫ 0 + ∞ ∂ L CN ∂ λ V ( λ ) dλ ∫ 0 + ∞ ∂ L CN ∂ λ dλ = K m L CN ∫ 0 + ∞ ∂ L CN ∂ λ V ( λ ) dλ size 12{η rSub { size 8{ ital "CN"} } left (T right )=K rSub { size 8{m} } { { Int rSub { size 8{`0} } rSup { size 8{+ infinity } } { { { partial L rSub { size 8{ ital "CN"} } } over { partial λ} } V left (λ right )dλ} } over { Int rSub { size 8{`0} } rSup { size 8{+ infinity } } { { { partial L rSub { size 8{ ital "CN"} } } over { partial λ} } dλ} } } = { {K rSub { size 8{m} } } over {L rSub { size 8{ ital "CN"} } } } Int rSub { size 8{`0} } rSup { size 8{`+ infinity } } { { { partial L rSub { size 8{ ital "CN"} } } over { partial λ} } V left (λ right )dλ} } {}

La figure suivante montre la courbe d'efficacité en fonction de la température.

Figure 5.4 : courbes d'efficacité lumineuse du corps noir en vision photopique

Les valeurs de l'efficacité en fonction de la température sont données en annexe.