EVALUATION NON DESTRUCTIVE ET CONTROLE NON DESTRUCTIF PAR ULTRASONS DES MATERIAUX COMPOSITES ANISOTROPES     

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Travaux réalisés au Laboratoire Roberval de l'Université de Technologie de Compiègne, ou en collaboration avec ce laboratoire.



Université de Technologie de Compiègne (UTC)




                     




 
Afin de modéliser correctement la nature bornée des transducteurs, le modèle de propagation en ondes planes dans des multicouches anisotropes a été étendu aux faisceaux bornés. Le principe de la méthode utilisée repose sur la décomposition du faisceau en ondes planes monochromatiques par la méthode du spectre angulaire [A7, A13, O'2, B4, B5, C4] , ce qui permet de connaître les faisceaux réfléchis et transmis par une plaque composite plongée dans un fluide, en géométrie tridimensionnelle.
Lorsque l'axe acoustique du transducteur et sa fréquence nominale sont tels que le faisceau incident, de par sa nature bornée, va donner naissance à un faisceau d'ondes modales (ondes de Lamb ou de Rayleigh par exemple) dans la structure, ce faisceau rayonne ensuite dans le milieu environnant. En raison de l'anisotropie du matériau, la direction du faisceau borné d'ondes modales va subir une déviation par rapport au plan sagittal du faisceau borné incident, et, suivant le mode choisi, peut être dévié préférentiellement dans la direction des fibres.  Pour en savoir plus...
 
 Les ondes de Lamb sont les modes de propagation d'une plaque isotrope dans le vide
         Pour en savoir plus sur les ondes modales...
 Mode symétrique S0
 

Mode antisymétrique A0      
Lorsqu'un champ ultrasonore (faisceau borné) impacte une structure de manière à générer, dans cette structure, un faisceau d'ondes de Lamb, le faisceau réfléchi comporte une partie spéculaire, et une autre partie, correspondant au rayonnement des ondes de Lamb dans le fluide environnant, appelée partie non spéculaire (leaky waves en anglais). Ce champ réfléchi présente un minimum entre les parties spéculaire et non spéculaire, lié à un phénomène d'interférences.

La figure ci-contre présente le champ de pression réfléchi dans l'eau (parallèlement à la plaque) d'une plaque en carbone/époxyde unidirectionnelle (épaisseur 0.59 mm, angle d'incidence de l'axe acoustique du transducteur 9.8 °, fréquence 1.35 MHz).

Pour en savoir plus sur les faisceaux d'ondes de Lamb... 
En ce qui concerne la détection de défauts dans des plaques composites, le contrôle industriel de grandes structures composites est actuellement très lent car il nécessite une exploration point par point de la structure. L'utilisation d'ondes de Lamb permet un gain de temps considérable, puisqu'au moyen d'un balayage sur une ligne, une bande de plusieurs dizaines de centimètres peut être contrôlée.

Courbes de dispersion des ondes de Lamb pour un composite en carbone/époxyde 0°/45°/90°/135° comprenant 8 plis
 Dans le cas des plaques isotropes homogènes, des formules analytiques sont disponibles pour tracer les courbes de dispersion des ondes de Lamb. 

Dans le cas de multicouches anisotropes, les équations sont beaucoup trop complexes et un modèle de propagation dans de tels milieux est indispensable. Le modèle développé permet de déterminer les angles d'incidence permettant, à une fréquence donnée, de générer une onde de Lamb dans le matériau.

Montage en réflexion ou en transmission
 Expérimentalement, une méthode classique de génération des ondes de Lamb consiste à placer deux transducteurs de même fréquence nominale du même côté de la plaque, inclinés de l'angle correspondant à la propagation d'une onde de Lamb pour la fréquence du transducteur.

Montage en échographie


plaque 0°/90 miroir en carbone/époxyde comportant 8 couches.  f = 1 MHz ; q = 10°
bleu : pas de défaut
rouge : défaut dans la plaque

 Un autre dispositif expérimental consiste à placer le transducteur émetteur et le transducteur récepteur sur un même plan. Lorsque les deux transducteurs sont inclinés d'un angle correspondant à un mode de Lamb, seul un signal correspondant à un défaut sera reçu par le transducteur récepteur.

On peut ainsi de tracer une cartographie en ondes de Lamb (L-scan) [C3,O'2].
   

Lorsque la structure est anisotrope, le faisceau incident, de par sa nature bornée, va donner naissance à un faisceau d'ondes modales dans la structure, faisceau qui rayonne ensuite dans le milieu environnant. En raison de l'anisotropie du matériau, la direction du faisceau borné d'ondes modales va subir une déviation par rapport au plan sagittal du faisceau borné incident, et, suivant le mode choisi, peut être dévié préférentiellement dans la direction des fibres.  Pour en savoir plus...
 

structure vide / milieu multicouche semi-infini
 Par analogie avec la propagation des ondes de Rayleigh à l'interface d'une structure vide / milieu isotrope semi-infini, on peut définir la propagation d'ondes de surface que l'on a appelé ondes de Rayleigh multicouche [A4, A5, A8, B2, B3, B7].

Pour en savoir plus sur les ondes modales...

Propriétés : 
  • Une onde de Rayleigh multicouche est la combinaison linéaire de 3 ondes de Floquet qui sont toutes inhomogènes.
  • Les ondes de Floquet étant dispersives, l'onde de Rayleigh multicouche est également dispersive : contrairement au cas des milieux isotropes, la propagation d'une telle onde se fait pour un couple (angle,fréquence) donné.
  • L'écriture des conditions aux limites conduit à l'annulation d'un déterminant (3x3). Par un balayage à la fois en angle et en fréquence, on obtient les courbes de dispersion des modes de Rayleigh multicouche.
 
La plaque se comporte ici comme un milieu semi-infini. Lorsque le milieu est non absorbant, il n'y a pas de rayonnement du côté de la plaque opposé à l'insonification. La réflexion est alors totale, ce qui se traduit par un coefficient de réflexion égal à 1. Le tracé des amplitudes de déplacement en fonction de l'épaisseur à l'angle et à la fréquence pour lesquels une onde de Rayleigh multicouche se propage, montre qu'en effet, les amplitudes sont négligeables plus l'on s'enfonce dans le matériau.










Mise en évidence expérimentale : 

Des expériences ont été menées sur une plaque composite en carbone/époxyde 0°/45°/90°/135° comprenant 24 plis. La courbe verte montre le module du coefficient de réflexion expérimental. On observe un creux vers 3 MHz, analogue à celui observé pour les plaques isotropes à l'angle de Rayleigh. La courbe bleue représente le module du coefficient de réflexion modélisé en considérant le milieu comme absorbant, alors que la courbe rouge correspond à un milieu non absorbant. On observe que pour un milieu non absorbant, le module du coefficient de réflexion est égal à 1.

L'onde de Rayleigh multicouche a également été mise en évidence expérimentalement par une technique acousto-optique développée par l'Université de Louvain (antenne de Courtrai, Belgique), basée sur l'interaction d'un faisceau laser avec les ultrasons [A8, B11].
Les images de strioscopie du champ réfléchi par la plaque composite à 3 MHz, pour deux angles d'incidence différents (à gauche à 20° et à droite à 16°) permettent d'observer (à gauche), le champ incident, le champ réfléchi, et une région "nulle", c'est-à-dire une région où les ultrasons ne sont pas réfléchis. Au contraire, à 16° (à droite), on n'observe pas de région non nulle.
C'est la différence entre les deux types de champs réfléchis qui permet de déterminer expérimentalement les angles caractéristiques, et leur fréquence. Dans le premier cas, à 3 MHz et à 20°, on est en présence d'une onde de Rayleigh multicouche, dans le second cas, on n'a pas d'onde modale.
 
 

Fig. 1
Le faisceau incident (émis par le transducteur émetteur), selon la configuration de contrôle (fréquence et incidence), de par sa nature bornée, va donner naissance à un faisceau spéculaire réfléchi mais également, selon la position du plan sagittal (ou plan d'incidence), à un faisceau d'ondes modales dans la structure (dû à l'excitation d'ondes modales), faisceau qui re-rayonne ensuite dans le milieu environnant.
Fig. 2
Si (à titre d'exemple) la structure étudiée est une plaque composite unidirectionnelle et si la trace du plan sagittal, plan perpendiculaire au plan de la plaque (et qui contient l'axe acoustique du faisceau) n'est pas suivant la direction des fibres, en raison de l'anisotropie du matériau, la direction du faisceau borné d'ondes modales va subir une déviation par rapport au plan sagittal du faisceau borné incident, et, suivant le mode choisi, ce faisceau modal peut être dévié préférentiellement dans la direction des fibres.
Fig. 3
Pour déterminer la configuration expérimentale qui va générer une onde modale (ici une onde de Lamb) dans une structure, on trace les courbes de dispersion des modes de Lamb représentant, par exemple, l'angle d'incidence en fonction de la fréquence (on pourrait de la même manière représenter la vitesse de phase plutôt que l'angle). De telles courbes dépendent de la position du plan sagittal par rapport à la plaque. L'orientation de ce plan par rapport à l'axe x1 lié à la plaque est repérée par l'angle de position azimutal . Les courbes de dispersion (voir figure 3) sont donc tracées pour une valeur fixée de  . En réalité, le transducteur émet un faisceau (faisceau borné) centré sur un axe acoustique parallèle au vecteur d'onde principal du faisceau (qui véhicule le maximum d'énergie dans le faisceau). Le plan sagittal est le plan qui contient l'axe acoustique du transducteur.
A fréquence fixée, si l'on vise un mode particulier, le champ incident ne va pas seulement générer l'onde de Lamb principale dans la direction de l'axe acoustique, mais également les ondes voisines, correspondant au même mode, en dehors du  plan sagittal.  Il faut donc représenter l'évolution du mode visé en fonction de l'angle  du plan sagittal. On trace alors non pas l'évolution de la vitesse de phase, mais celle de son inverse (appellée lenteur), en fonction de l'angle azimutal .
Fig. 4
La figure 4 présente deux exemples de courbes des lenteurs des ondes de Lamb, à fréquence fixée. A gauche, les courbes des lenteurs des ondes de Lamb pour une couche unidirectionnelle en carbone/époxyde, les fibres étant parallèles à l'axe x1. A droite, les courbes des lenteurs des ondes de Lamb, pour deux couches à 90° l'une de l'autre.
Ces courbes de dispersions sont obtenues en écrivant les conditions aux frontières (raisonnement en ondes planes pour une structure dans le vide), ce qui conduit à une relation de dispersion qui peut se mettre sous la forme
= F(kx1 , kx2).
Fig. 5
cliquez sur l'image pour avoir une meilleure définition
La direction de déviation du faisceau modal dans la structure peut être prédite par une analyse asymptotique, en champ lointain et par la méthode de la phase stationnaire. On se place au point correspondant, sur la courbe des lenteurs, à la projection du vecteur d'onde principal de l'axe acoustique du transducteur sur le plan de la plaque. Le faisceau incident génère également des ondes voisines de ce point sur la courbe, qui participent au phénomène de quasi résonance. Par conséquent, une faisceau borné d'ondes modales est généré dans la structure. Ce faisceau est centré sur la ligne de groupe principale, c'est-à-dire que la partie la plus énergétique de ce faisceau modal sera trouvée le long de la direction de groupe correspondant au vecteur nombre d'onde principal de l'axe acoustique, c'est-à-dire selon la direction de la normale à la courbe des lenteurs en ce point.
Comme, en raison des effets d'anisotropie, la courbe des lenteurs n'est pas circulaire, cette direction normale est différente de la direction du vecteur d'onde modal. Le faisceau modal est donc dévié dans la direction de groupe associé au vecteur d'onde modal de l'axe acoustique.
Il convient de noter qu'ici, le phénomène est décrit en monochromatique et que seule la dispersion angulaire des ondes modales intervient. C'est donc la direction de groupe qui est importante dans notre cas, et non la vitesse de groupe.
Fig. 6
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Mise en évidence numérique du phénomène de déviation du faisceau modal sur une plaque en carbone époxyde unidirectionnelle
 
La configuration de contrôle a été choisie pour générer le mode de Lamb symétrique S0. A gauche (figure 6), la direction des fibres est contenue dans le plan sagittal, tandis qu'à droite, cette direction fait un angle de 45° par rapport à la trace du plan sagittal.
Dans les deux cas, on observe bien la zone de réflexion spéculaire et la zone de réflexion non spéculaire correspondant au rayonnement de l'onde de Lamb dans le fluide environnant.
Alors que dans le premier cas, à gauche, lorsque =0°, le faisceau modal n'est pas dévié par rapport au plan sagittal, lorsque la direction des fibres n'est plus contenue dans le plan sagittal, à droite, on observe une déviation du faisceau modal. Ici, la direction de déviation est celle des fibres.
Fig. 7
Plan oblique de re-rayonnement

Le faisceau modal re-rayonne dans le fluide externe, non plus dans le plan sagittal, mais dans un plan oblique correspondant à l'angle de réflexion spéculaire de l'axe acoustique. L'intersection de ce plan oblique avec le plan de l'interface est la direction de groupe du faisceau modal. Par conséquent, tous les effets non spéculaires doivent être observés dans ce plan, et non dans le plan sagittal.
Fig. 8
L'obliquité de ce plan de re-rayonnement a été mise en évidence numériquement. Appelons  l'angle que fait le plan de re-rayonnement avec la plaque, et  la distance entre ce plan et l'axe Ox3, si l'on est à une hauteur h de la plaque. Si l'on examine le champ réfléchi à une hauteur h de la plaque, le maximum de pression sera trouvée dans ce plan oblique, et sa projection sur le plan de la plaque est située à la distance  de la direction de groupe principale.
Connaissant l'angle d'incidence  et l'angle de déviation du faisceau modal, l'angle  peut être déduit par un calcul géométrique simple (ici, pour la configuration choisie, =74.7°).
Une autre méthode consiste à procéder de manière numérique. La figure de gauche (figure 8) représente une cartographie du champ réfléchi à la surface de la plaque et la figure de droite à 200 mm de la plaque. La droite oblique rouge correspond au maximum de pression, à la surface de la plaque. On observe très bien un décalage des deux faisceaux. La mesure de cette distance  permet de déterminer l'angle  (75.3°, ce qui est très proche de la valeur déduite de manière géométrique).
Remarque : on note une augmentation de la taille du faisceau modal en fonction de la distance, ce qui est dû à l'étalement du faisceau.        

Fig. 9
Les expériences ont été réalisées sur des plaques unidirectionnelles en carbone/époxyde (épaisseur 0.59 mm). Le transducteur émetteur était de fréquence centrale égale à 1 MHz, le diamètre était égal à 19.05 mm, et l’excitation était un train d’onde, donc une excitation monochromatique. Un hydrophone, placé à environ 1 mm de la plaque, et déplacé parallèlement à celle-ci, permettait de relever les pressions réfléchies.
Fig. 10Fig. 11

Les figures 10 et 11 présentent des comparaisons entre résultats numériques et expérimentaux pour une plaque unidirectionnelle en carbone/époxyde dont la direction des fibres est respectivement contenue et non contenue dans le plan sagital.

Nota Bene. L'absorption du matériau n'a pas été prise en compte pour les cartographies numériques.

Fig. 1
Une onde modale [voir W.D. Hayes, "Conservation of action and modal wave action", Proc. Roy. Soc. Lond. A., 320,  187-208, (1970)] est une onde pour laquelle l'énergie acoustique se propage le long des couches, tandis qu'elle reste bornée dans la direction (z) perpendiculaire aux couches (ondes guidées, ondes de surface, ondes d'interface).

Les ondes modales nécessitent une ou plusieurs frontières pour se construire : l'énergie acoustique se propage dans la direction d'un sous-espace de l'espace physique, tandis que ces ondes présentent un caractère stationnaire dans le sous-espace supplémentaire (au sens de la théorie des espaces vectoriels).

Chaîne diatomique périodique d'atomes
Ondes SH dans des couches isotropes
Ondes longitudinales dans des couches fluides
Fig. 2
Les ondes de Floquet qui se propagent dans une structure périodique sont liées aux valeurs propres lambda  (et aux vecteurs propres) de la matrice de transfert tau, qui sont solutions de l'équation caractéristique  avec s=(a+d)/2.  Quand lambda est complexe (module égal à 1), l'onde de Floquet associée est propagative, alors qu'elle est évanescent lorsque  lambda est réel.

Quand les ondes de Floquet sont évanescentes, le domaine correspondant dans le plan fréquence/angle (K0,Kx) est appelé bande d'arrêt. Lorsque les ondes de Floquet sont propagatives, le domaine correspondant est appelé bande passante. Ces noms correspondent au fait que, pour une structure périodique infinie, l'énergie acoustique est totalement réfléchie dans le milieu externe pour les bandes d'arrêt, alors que pour les bandes passantes, une partie de l'énergie pénètre dans la structure périodique semi-infinie, et rayonne à l'infini. Les bandes d'arrêt et les bandes passantes de la structure correspondent respectivement aux cas |s|>1 et |s|<1. Ces zones sont séparées dans le plan (K0,Kx) par les courbes s(K0,Kx)=+1 or s(K0,Kx)=-1 (voir Fig. 2 dans le cas d'un milieu comportant 2 couches dans une période). 
Fig. 3
Modes guidés
Milieu multicouche périodique constitué de P périodes (voir Fig. 3). La matrice de transfert tauP de toute la structure peut être calculée en fonction de tau, en faisant usage du théorème de Cayleigh-Hamilton, au moyen des polynômes de Tchebychev de seconde espèce Up(s) :
coefficients of tau P
Si la structure périodique finie est dans le vide, les conditions aux frontières aux interfaces extrêmes impliquent l'annulation des contraintes (TP=0 et T0=0), ce qui conduit à une équation aux modes propres factorisée :   cP(K0,Kx)=0   c'est-à-dire  c(K0,Kx) UP-1(s)=0  , ce qui conduit à deux familles d'ondes modales.
Fig. 4
- La première famille d'ondes modales correspond à ce qui peut être appelé des ondes modales de structure. Elles sont données par la condition UP-1(s)=0. A partir des propriétés des polynômes de Tchebychev, les (P-1) racines de cette condition sont telles que |s|<1, ce qui revient à dire que ces modes existent dans les bandes passantes. Pour le milieu fluide périodique de la Fig. 4 avec P=3 périodes, on peut voir qu'il y a 2 modes de structure dans chaque bande passante (traits pointillés orange).
- La seconde famille d'ondes modales correspond à ce qui peut être appelé des ondes modales de période. Elles sont données par la condition c(K0,Kx)=0, qui est indépendante du nombre P de périodes, et qui correspond donc à des ondes modales qui sont directement liées au motif de période, et qui sont telles que |s|>=1. Par suite, les modes de périodes sont localisés dans les bandes d'arrêt ou sur leurs frontières (voir Fig. 4, trait continu noir).
Fig. 5 Ondes modales de surface dans une structure semi-infinie, l'interface supérieure étant en contact avec le vide

- Une telle onde modale de surface peut exister dans une structure fluide périodique semi-infinie, alors qu'elle ne peut pas exister dans un simple milieu fluide.
- Sous la condition c(K0,Kx)=0, quand la première interface de la structure est en contact avec le vide, la condtion T0=0 implique la condition T1=0 et ainsi de suite pour les autres interfaces de période. En particulier, après p périodes, le déplacement normal est tel que wp=ap w0. 

- Puisque la structure est semi-infinie, l'entier p augmente indéfiniment à mesure que z tend vers l'infini. Par suite, si |a|<1 alors l'amplitude de l'onde, observée à chaque interface de période, va décroître en fonction de z, alors que si |a|>1 elle va augmenter (voir Fig. 5). 
Fig. 6

- Le premier cas correspond à une onde modale de surface (ce qui a été appelé une "onde de Rayleigh multicouche").

- Le second cas correspond à ce qui peut être appelé une "onde anti-modale" : une telle solution modale a peu de sens physique, puisque son amplitude n'est pas bornée à l'infini.

- Il convient de noter le rôle crucial joué ici par le caractère périodique de la structure : en fait, dans le cas des milieux fluides homogènes semi-infinis, il n'y a pas d'onde modale de surface similaire à ce qui vient d'être décrit pour une structure périodique.

- Lorsque les couches sont empilées en ordre inverse, l'onde modale de surface et "l'onde anti-modale" sont échangées.

Conditions aux frontières
 Equation aux modes propres (équation de dispersion) :  
dzeta0 +dzetaP = 0 : 
équation aux modes propres factorisée
 dzeta0 =dzetaP  : équation aux modes propres non factorisée
Mur rigide: Zw tend vers l'infini
ou vide : Zw = 0
Pure impédance reactive
Ondes propagatives
dans le même milieu fluide externe
Transmission totale
Ondes modales généralisées (kx n'est pas réel)

Transmission totale
Ondes anti-modales généralisées (kx n'est pas réell)
Ondes évanescentes
dans le même milieu fluide externe
Ondes anti-modales
Ondes anti-modales

Ondes anti-modales
Ondes de Osborne et Hart



 

Une poutre pultrudée en verre/époxyde comprenant 3 couches de mat et 2 couches de roving a été impactée (contact : Thierry Chotard)
Une cartographie ultrasonore C-Scan à différentes hauteurs permet de retrouver des résultats classiques : près du point d'impact, la zone endommagée est moins large qu'au fond de la pièce.
En prenant en compte la réponse réelle du transducteur, on peut parfaitement simuler la réponse échographique du milieu [A6, B4] grâce au modèle en ondes planes développé.

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