Hamiltonien pour les agrégats déposés

Pour la partie agissant sur les ions, nous prenons

$$V_{\rm eff}^{\rm ion}({\bf R}) = \sum\limits_{\alpha\in{\rm Na}} ... ... \frac{e^2}{\vert{\bf R} - {\bf R}_\beta\vert} + V_{\rm pol}^{\rm ion}({\bf R})$$ (50)

où les deux premiers termes représentent l'interaction coulombienne avec les ions Na et Cl du substrat. Les positions de ces ions sont supposées inchangées par rapport au substrat libre. Tous les effets de polarisation sur le nuage électronique et les positions ioniques par l'atome sont décrits par le potentiel de polarisation pour lequel nous prenons une interaction de type Lennard-Jones avec des puissances appropriées à une géométrie planaire :

$$V_{\rm pol}^{\rm ion}({\bf R}) = V_{\perp}^{\rm ion} (Z) V_{\parallel}^{\rm ion}(X,Y) \quad,$$ (51)

$$V_{\perp}^{\rm ion}(Z) = C^\prime\,\left(\Xi^6-\Xi^4\right) \quad,$$ (52)

$$\Xi = \frac{z_0\sqrt{2/3}}{Z+z_0} \quad,$$

$$V_{\parallel}^{\rm ion}(X,Y) = D^\prime + E^\prime \, \left(k_x X\right) \left(k_y Y\right) \quad.$$ (53)

La partie électronique est construite de façon similaire :

$$V_{\rm eff}^{\rm el}({\bf r}) = \sum\limits_{\alpha\in{\rm Na}} V_{\rm ps}(\vert{\bf r} - {\bf R}... ...{e^2}{\vert{\bf r} - {\bf R}_\beta\vert} + V_{\rm pol}^{\rm el}({\bf r}) \quad,$$ (54)

$$V_{\rm pol}^{\rm el}({\bf r}) = V_{\perp}^{\rm el} (z) V_{\parallel}^{\rm el}(x,y) \quad,$$ (55)

$$V_{\perp}^{\rm el} (z) = \left\{ \begin{array}{r@{\quad\mbox{pour}\quad}l} C\,\left[\xi^6-... ...ght] & z > -z_0+a_o \\ 7\,{\rm eV} & z \le -z_0+a_o \end{array} \right. \quad,$$ (56)

$$\xi = \frac{z_0\sqrt{2/3}}{\vert z\vert+z_0} \quad,$$

$$V_{\parallel}^{\rm el}(x,y) = D + E \, \left(k_x x\right) \left(k_y y\right) \quad.$$ (57)

L'interaction coulombienne avec les ions Na$^+$ est remplacée par le pseudopotentiel local tel que nous l'avons présenté dans le chapitre I. Un pseudopotentiel n'est pas nécessaire pour l'interaction avec les ions Cl$^-$, car celle-ci est répulsive, l'électron n'est donc jamais assez près du noyau de chlore pour sentir des effets plus fins que la répulsion électrostatique.

Le terme de polarisation est construit de façon analogue à la partie ionique mais avec un terme de coupure rendu nécessaire par le fait que les électrons peuvent se trouver à une distance arbitrairement proche de la surface. Sa forme est inspirée par le potentiel utilisé dans [63], où tout le poids de l'interaction effective était subi par les électrons. Ici, les paramètres en sont donc quelque peu différents. La coupure dans $V_{\perp}^{\rm el}$ est ajustée sur le gap de NaCl(100), qui vaut $7\,{\rm eV}$ au point $\Gamma$ de la zone de Brillouin, et débute à $1\,{\rm a}_0$ de la surface du substrat.

Le minimum des deux termes de polarisation est placé à $z=0$. La surface (du moins en moyenne) est donc à $-z_0$, avec $z_0 \approx 5.74 \,{\rm a}_0$. Le potentiel $V_{\parallel}^{\rm el}$ décrit l'effet de la corrugation. Les paramètres $D$ et $E$ de la corrugation sont les mêmes que dans [63]. Les autres paramètres, $C, C^\prime, D^\prime$ et $E^\prime$ sont ajustées aux résultats ab initio : l'énergie de liaison d'un monomère neutre de sodium au dessus d'un ion chlore est $\Delta E_{\rm Cl^-}^{\rm top}=-0.61\, {\rm eV}$, au dessus d'un ion sodium $\Delta E_{\rm Na^+} ^{\rm top}=-0.42\,{\rm eV}$, au dessus d'un vide $\Delta E_{\rm vide}^{\rm top}=-0.52\,{\rm eV}$, et la différence d'énergie de liaison au substrat entre la configuration planaire de Na$_8$ et celle qui est tridimensionnelle vaut $\Delta E_{\rm 3D-2D} = 0.057\,{\rm eV}$.

Ces résultats sont reproduits par les paramètres

$$\begin{array}{lll} C = 3.0\, {\rm eV} & D=1.157 & E=0.629\\ ... ....56\, {\rm eV}& D^\prime = 0.98 & E^\prime = -0.218 \end{array}$$ (58)