Transfert de l'étendue géométrique et de la luminance à la réfraction [Métrologie optique]

Dans le cas d'une propagation dans un milieu homogène avec pertes, le flux est atténué le long du parcours. La luminance est donc également atténuée en cours de propagation, proportionnellement à la transmission du milieu. Cependant, puisque l'angle solide est invariant, l'étendue géométrique reste également invariante. Si la lumière se propage en changeant de milieu, comme c'est le cas pour la réfraction à travers un dioptre, il convient d'évaluer l'étendue géométrique et la luminance tout au long du trajet. Considérons donc un pinceau de lumière d'étendue \(d^{2} G\), incident sur un dioptre séparant deux milieux d'indices \(n\) et \(n'\). On suppose que l'étendue géométrique est limitée par deux petits diaphragmes de cotés \((dx,dy)\)) et \((dx',dy')\) situés à la distance d de l'interface (figure 4.1). On considère \(dx=dy\) et par conséquent \(dx'=dy'\).

L'étendue géométrique définie par le faisceau incident s'exprime comme

d^{2} G = \frac{{dA}_{S} {dA}_{0} cos θ_{S} cos θ_{R}}{d^{2}} = \frac{dxdy}{d^{2}} {dA}_{0} {cos}^{2} θ = {dθ}^{2} {cos}^{2} θ {dA}_{0}

L'étendue géométrique du pinceau transmis par réfraction s'exprime par

d^{2} G' = \frac{{dA}_{R} {dA}_{0} cos θ'_{S} cos θ'_{R}}{d^{2}} = \frac{dx' dy'}{d^{2}} {dA}_{0} {cos}^{2} θ' = dθ'^{2} {cos}^{2} θ' {dA}_{0}

La loi de la réfraction appliquée au problème donne

n sin θ = n'sin θ'

et par différentiation on obtient

n cos θdθ = n'cos θ' dθ'

donnant

n^{2} {cos}^{2} {θdθ}^{2} = n'^{2} {cos}^{2} θ' dθ'^{2}

et par conséquent il vient

n^{2} d^{2} G = n'^{2} d^{2} G'

Ce résultat se généralise aux faisceaux de dimensions finies en sommant les étendues géométriques élémentaires des pinceaux dont il est composé et on obtient

n^{2} G = n'^{2} G'

Figure 4.1 : étendue géométrique à la réfraction

Il en résulte que pour un faisceau de lumière qui se réfracte à la surface d'un dioptre séparant deux milieux d'indices différents, le produit de l'étendue géométrique par le carré de l'indice est constant. La conservation de l'étendue géométrique d'un faisceau est maximale dans le vide ou dans l'air.

Si \(T_{opt}\) est le facteur de transmission de l'interface, le flux élémentaire se propageant après réfraction est lié au flux élémentaire incident par

d^{2} Φ' = T_{opt} d^{2} Φ

On a donc également

L'_{S} d^{2} G' = T_{opt} L_{S} d^{2} G

où \(L_{S}\) et \(L'_{S}\) sont les luminances respectives dans le premier et le second milieu. Ainsi, il vient la relation entre les luminances des deux milieux :

L'_{S} \frac{n^{2}}{n'^{2}} d^{2} G = T_{opt} L_{S} d^{2} G

donnant

L'_{S} = T_{opt} \frac{n'^{2}}{n^{2}} L_{S}