Gradient amorti

La faute en est aux parties des fonctions d'onde qui ont une énergie cinétique trop grande, qui ralentissent la convergence. Reinhard et ses collaborateurs ont proposé une méthode pour remédier à ce problème, la << méthode du gradient amorti >> (damped step gradient method, [57,51]). Cette méthode est essentiellement une amélioration de la méthode du pas de temps imaginaire, où le terme d'énergie cinétique intervenant dans les équations à un corps I.2 est amorti pour les énergies les plus grandes. Le pas s'écrit alors pour passer d'une étape à la suivante du schéma itératif:

$$\psi _i ^{(n+1)}=\hbox{\scr{O}}[ [ 1-\hbox{\scr{D}}(\widehat{h} -\langle h\rangle) ] \psi _i ^{( n)}]$$

$\hbox{\scr{O}}$ signifie l'orthonormalisation de toutes les $\phi _i$, $\langle h\rangle=\langle \psi_i^{( n)}\vert\widehat{h}\vert\psi_i^{( n)}\rangle =\epsilon_i$, le Hamiltonien étant fonctionnelle des $\psi _i ^{( n)}$ et $\hbox{\scr{D}}$ est un opérateur d'amortissement

$$\hbox{\scr{D}} =\frac{x_0}{\Delta + E_0}$$

où $x_0$ et $E_0$ sont des paramètres numériques, correspondant à la taille du pas de temps et à la force de l'amortissement des termes de haute énergie cinétique. Dans le cas où cette énergie cinétique est calculée en espace de Fourier, l'application de ce pas de gradient amorti est immédiate, sinon elle nécessite l'inversion d'un opérateur. L'orthonormalisation des fonctions d'onde à chaque pas de temps est quelque peu coûteuse numériquement : en effet, elle est effectuée par le procédé de Schmidt, sur lequel nous reviendrons à propos de la parallélisation des méthodes. Nous sommes conscients qu'il existe des procédés plus stables numériquement car plus équilibrés, mais pour un nombre de fonctions d'onde dans le système qui n'est pas trop grand, ce schéma reste le plus efficace.

Dans la majorité des cas, lorsque l'estimation initiale est judicieusement choisie, ce schéma itératif converge en quelques dizaines d'itérations.