Noyau de gradient et moindres carrés
Exemple : Filtre de Prewitt et moindres carrés
Les noyaux du filtre Prewitt selon x et y sont :
pour le gradient selon y
pour le gradient selon x
Les noyaux du filtre Prewitt sont obtenus en remplaçant la fonction par un plan et en minimisant l'erreur commise par la méthode des moindres carrés.
Le voisinage étudié est le suivant :
(-1,-1) | (0,-1) | (1,-1) |
(-1,0) | (0,0) | (1,0) |
(-1,1) | (0,1) | (1,1) |
La fonction image sur ce voisinage a pour valeur :
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On cherche les coefficients a,b et c tels que z=ax+by+c. En utilisant les données précédentes on peut mettre le système précédent sous forme matricilelle :
z=M p
la pseudoinverse de M est
Le coefficient a est le produit de la première ligne de la pseudoinverse par le vecteur colonne z :
On peut mettre cette expression sous la forme du matrice carrée de 3 lignes et de 3 colonnes :
que l'on peut multiplier terme à terme par la fonction image :
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Le coefficient a est la dérivée de la fonction image au point central du voisinage. Les coefficients du filtre de Prewitt sont ainsi le résultat de la minimisation de l'erreur quadratique commise en remplaçant la fonction image par un plan.
On peut faire de même pour b, le gradient selon y. c représente la valeur moyenne des pixels dans le voisinage.
