Méthode avec passage en espace de Fourier

Cette méthode, dont la formalisation que nous allons donner est due à P.-G. Reinhard, ainsi que la petite démonstration qui suit, existe sous un grand nombre de formes similaires. On peut par exemple citer les travaux de [59] sur la résolution de l'équation de Schrödinger non-linéaire, qui pose sous une forme simplifiée la plupart des problèmes qui se présentent dans ce travail.

L'idée consiste à séparer la propagation en contributions dues aux termes cinétiques et potentiels, qui pourra être exprimée dans chaque cas par des exponentielles exactes.

Le pas de temps se réduit alors au premier ordre à

$$\psi_i({\bf r},t+\Delta t \,)= e^{\displaystyle-\frac{i}{\hbar}V(... ...isplaystyle-i\hbar\Delta t \,\frac{k^{\:2}}{2m_e}} {\cal F} \:\psi_i({\bf r},t)$$ (17)

où ${\cal F}$ dénote une transformée de Fourier rapide. Ce schéma a l'avantage d'être peu coûteux numériquement, exactement unitaire, mais il présente l'inconvénient d'être du premier ordre.

Il est cependant possible d'écrire un pas de temps au deuxième ordre pour un coût très légèrement supérieur.

Si nous considérons en effet le pas de temps :

$$\psi_i({\bf r},t+\Delta t \,) = e^{\displaystyle-\frac{i}{\hbar}V(t+\Delta t \,)\frac{\Delta t \,... ...}}{2m_e}} {\cal F}\: e^{\displaystyle-\frac{i}{\hbar}V(t)\frac{\Delta t \,}{2}}$$

$$\times\quad\psi_i({\bf r},t)$$ (18)

ce pas de temps est unitaire et approxime l'évolution exacte à l'ordre deux. Le problème de l'autocohérence en temps semble se poser comme dans la méthode de Crank-Nicholson. En effet, la valeur du potentiel $V$ à $t+\Delta t \,$ intervient dans le propagateur. Cependant, ce terme ne dépend des fonctions d'onde que par la densité $n({\bf r},t+\Delta t \,)$ ; et comme la densité est manifestement invariante sous l'action d'une transformation de jauge

$$\psi_i({\bf r},t) \longrightarrow e^{\displaystyle-\frac{i}{\hbar}V(t)\frac{\Delta t \,}{2}} \psi_i({\bf r},t)$$

appliquée au fonctions d'onde $\psi_i$ la densité peut être obtenue à l'instant $t+\Delta t \,$ après l'application du terme cinétique dans le schéma itératif : soit les $\varphi$ définies par

$$\varphi_i({\bf r},t+\Delta t \,)= {\cal F}^{-1}\: e^{\displaystyl... ...\:e^{\displaystyle-\frac{i}{\hbar}V(t)\frac{\Delta t \,}{2}} \psi_i({\bf r},t)$$

on peut alors écrire

$$n({\bf r},t+\Delta t \,) = \sum\limits_{i=1}^{N}\Big\vert\varphi_i({\bf r},t+\Delta t \,)\Big\vert^{\:2}$$

d'où $V(t+\Delta t \,)$ dans II.7.

Il reste à prouver que le pas de temps est bien d'ordre deux.

Développons l'intégrale intervenant dans le pas de temps exact II.4 à cet ordre :

$$\int\limits_{t}^{t+\Delta t \,}\! dt' \:(\widehat{t}+V(t')) \approx \Delta t \, \widehat{t} + \frac{1}{2}\left[ \Delta t \, V(t) + \f... ... \, V(t+\Delta t \,) - \frac{\Delta t^{\:2}}{2} \dot{V} (t+\Delta t \,) \right]$$

$$\approx \Delta t \,\widehat{t} + \frac{1}{2}\left[ \Delta t \, V(t) +\Delta t \, V(t+\Delta t \,) \right]$$

En portant ce résultat dans II.4 :

$${\cal T}e^{\displaystyle -\frac{i}{\hbar}\int\limits_{t}^{t+\Delt... ...t^{\:2}}{2\hbar^{\:2}}\left[\widehat{t}^{\:2}+V^{\:2}+ \{\widehat{t},V\}\right]$$ (19)

où $\{\widehat{t},V\}$ désigne le commutateur, les temps auxquels $\widehat{t}$ et $V$ sont pris n'intervenant pas à cet ordre.

Quant au pas de temps II.7, on peut le développer au deuxième ordre en

$$e^{\displaystyle-\frac{i}{\hbar}V(t+\Delta t \,)\frac{\Delta t \,... ...lta t \,\widehat{t}} e^{\displaystyle-\frac{i}{\hbar}V(t)\frac{\Delta t \,}{2}}$$

$$\approx \left(1-\frac{i\Delta t \,}{2\hbar} V(t+\Delta t \,) -\frac{\Delt... ...ac{i\Delta t \,}{2\hbar}V(t)- \frac{\Delta t^{\:2}}{8\hbar^{\:2}}V^{\:2}\right)$$

$$\approx 1-\frac{i\Delta t}{\hbar}\widehat{t}-\frac{i\Delta t }{2\hbar} \l... ...t^{\:2}}{2\hbar^{\:2}} \left[\widehat{t}^{\:2}+V^{\:2}+\{\widehat{t},V\}\right]$$

ce qui est identique au résultat de II.8. Le pas de temps II.7 est donc bien d'ordre deux. Du point de vue de la rapidité, le pas de temps II.7 semble être plus lent que celui de II.6, car il nécessite deux évaluations du terme potentiel, en $t$ et $t+\Delta t$. Ces évaluations sont assez onéreuses numériquement à cause de la résolution de l'équation de Poisson qui y est nécessaire. Cependant, on peut remarquer que $V(t+\Delta t)$ est utilisé deux fois, une fois à la fin du pas de temps de $t$ à $t+\Delta t$, et une fois au début du pas de temps suivant. On peut donc utiliser un pas de temps asymétrique

$$\varphi_i({\bf r},t+\Delta t \,) = {\cal F}^{-1}\: e^{\displaysty... ...e^{\displaystyle-\frac{i}{\hbar}V(t)\frac{\Delta t \,}{2}} \varphi_i({\bf r},t)$$ (20)

avec $V(t)=V[n(\bf r),t]$ et

$$n({\bf r},t) = \sum\limits_{i=1}^{N}\Big\vert\varphi_i({\bf r},t)\Big\vert^{\:2}$$

Toutefois, lorsque les observables physiques devront être évaluées, il faudra bien entendu passer par les << vraies >> fonctions d'onde

$$\psi_i({\bf r},t) = e^{\displaystyle-\frac{i}{\hbar}V(t)\Delta t \,} \varphi_i({\bf r},t)$$

Finalement, nous disposons d'un schéma itératif pour résoudre les équations TDKS II.3 qui présente un grand nombre d'avantages : il est d'ordre deux, ne requiert qu'une évaluation du potentiel par pas de temps, ce qui le prend très similaire à la méthode << leap-frog >> pour résoudre les équations du mouvement de points matériels en interaction. De plus, il est exactement unitaire donc inconditionnellement stable, ce qui est un avantage par rapport aux algorithmes utilisant un développement en série pour calculer l'exponentielle des opérateurs. Grâce à l'usage de transformées de Fourier, l'énergie cinétique y est en outre évaluée de manière plus précise et plus stable que dans toutes les méthodes basées sur l'utilisation d'opérateurs aux différences finies.