Itérations statiques

Les schémas itératifs pour calculer l'état fondamental du système, tels qu'ils ont été présentés page , sont pourtant très similaires aux schémas dynamiques présentés page , même moins exigeants, puisque les fonctions d'onde peuvent y être prises réelles, alors que la dynamique exige par essence des fonctions d'onde complexes, mais ils présentent la grave difficulté de demander une orthonormalisation des fonctions d'onde à chaque pas. Dans notre approche consistant à charger chaque processeur d'une fonction d'onde, cela implique donc bien plus de communications que dans le cas dynamique.

Puisque nous avons choisi le procédé de Schmidt(POS) pour réaliser cette orthonormalisation, c'est elle que nous avons parallélisée, en chargeant chaque processeur d'orthogonaliser << sa >> fonction d'onde avec toutes celles de rang inférieur au sien.

Rappelons en effet le mécanisme du POS, pour un ensemble de $N$ fonctions d'onde $\psi_i$ de même spin. La méthode peut s'exprimer de la façon suivante :

Il faut donc qu'un processeur d'indice $i$ reçoive tous les $\left\langle \psi_i \big\vert \psi_j\right\rangle\psi_j$ des processeurs de $j$ strictement inférieur.

Nous avons d'abord programmé le POS à l'aide des extensions CRAFT au Fortran, où les communications sont implicites, ce qui nous a permis d'avoir rapidement une implantation de l'algorithme certainement pas optimale en ce qui concerne la rapidité, mais qui nous a progressivement permis de transformer le programme jusqu'à ce qu'il ne fasse plus appel qu'aux bibliothèques de passage de messages explicites(PVM,SHMEM puis MPI). Ces bibliothèques, très similaires d'usage, permettent de meilleures performances puisqu'avec elles on peut contrôler directement les communications ; de plus, elles existent sur différentes plateformes (CRAY comme IBM) ce qui n'est pas le cas de CRAFT, limité au CRAY T3D.

Dans le modèle SPMD (Single Program Multiple Data) chaque processeur (PE) exécute alors l'algorithme suivant : (pour le PE d'indice $i$)

On voit que cet algorithme ne bénéficie de la parallélisation que par le fait que des fonctions d'onde de spin différents peuvent être orthogonalisées simultanément, et par le fait que l'opérateur de gradient amorti est appliqué en même temps par tous les processeurs. Il faut cependant remarquer que le processus d'orthonormalisation est par essence un mélange de toutes les fonctions d'onde ; d'autre part, l'avantage d'avoir parallélisé le pas de temps statique est à trouver dans la flexibilité qu'on gagne à avoir un programme parallèle entièrement autonome, capable de calculer la condition initiale comme la propagation dynamique. On peut bénéficier alors de la mémoire énorme disponible sur les calculateurs tels que les T3D/T3E ou SP2 pour étudier des systèmes nécessitant de vastes grilles, ou possédant un grand nombre de fonctions d'onde.