Invariants paraxiaux, invariant de Lagrange-Helmohltz
D'après la relation de conjugaison :
\(\frac{n'}{z'} - \frac{n}{z} = \frac{n'-n}{R}\)
il vient l'invariant longitudinal :
\(Q_{z} = n \Bigl( \frac{1}{R}- \frac{1}{z} \Bigl) = n' \Bigl( \frac{1}{R}- \frac{1}{z'} \Bigl)\)
La relation du grandissement transversal :
\(G_{y} = \frac{y'}{y'} = \frac{n}{n'} \times \frac{z'}{z}\)
donne l'invariant transversal :
\(G_{y} = \frac{ny}{z} = \frac{n'y'}{z'}\)
En effectuant le produit \(g_{\alpha}\) nous avons :
\(g_{y} \cdot g_{\alpha} = \frac{y' \alpha '}{y \alpha} = \frac{n}{n'}\)
On en déduit l'invariant de Lagrange-Helmohltz
\(ny \alpha = n'y' \alpha ' \mbox{ (13)}\)