Équation de Poisson

Le problème de la résolution de l'équation de Poisson se pose aussi bien dans le calcul de l'état fondamental I.2 que dans la résolution des équations dynamiques I.6, et ce sous la même forme : trouver $\Phi$, potentiel de Hartree tel que

$$\Delta \Phi +4\pi e^{\:2}\rho =0$$ (12)

où $\rho$ est normalement la densité électronique seule, mais peut aussi être, dans le but d'avoir des résultats légèrement plus précis dans le cadre du modèle du << jellium >>, la différence de cette densité et de la densité de << jellium >> ou de la pseudodensité ionique comme nous l'expliquions dans le chapitre précédent page .

Il est indispensable de passer par la résolution de cette équation, car l'intégration directe :

$$\Phi({\bf r})=e^{\:2}\int_V \!d{\bf r'}\: \frac{\rho({\bf r'})} {\big\vert{\bf r}-{\bf r'}\big\vert}$$ (13)

est trop lourde numériquement si effectuée en chaque point de la boîte. Nous allons exposer les deux méthodes que nous avons principalement employées dans dans cette thèse.